Свойства функции распределения.

1. .

2. - неубывающая по каждому из своих аргументов при фиксированном значении по другому аргументу:

.

3. .

4. .

5.

, - одномерные функции распределения.

Плотность вероятности (распределения вероятности) двумерной случайной величины - смешанная производная второго порядка от функции распределения.

Свойства плотности вероятности.

1. Функция .

2. .

3. ,

где и - переменные интегрирования.

4.

Математическое ожидание и дисперсия системы случайных величин.

Математическим ожиданием двумерной случайной величины называется совокупность двух математических ожиданий М[Х], М[Y], то есть упорядоченных пар М[Х], М[Y], которые определяются равенствами:

а) если Х и Y – дискретные случайные величины:

М[Х]= , : ; .

М[Y]= .

б) если Х и Y – непрерывные случайные величины:

М[Х]=

М[Y]= ,

где - плотность вероятности двумерной случайной величины .

Математическое ожидание случайной величины , которая является функцией компонент двумерной случайной величины , находится аналогично по формулам:

1. М[(Х, Y)]= - если Х и Y – непрерывные случайные величины;

2. М[(Х, Y)]= , : ; - если Х и Y – дискретные случайные величины.

Дисперсия двумерной случайной величины.

Дисперсия двумерной случайной величины - совокупность двух дисперсий D[X] и D[Y], которые определяются равенствами:

а) если Х и Y – дискретные случайные величины:

D[X]= , : ; .

D[Y]= .

б) если Х и Y – непрерывные случайные величины:

D[X]=

D[Y]= ,

где - плотность вероятности двумерной случайной величины ,

, - математические ожидания компонент .

Условное математическое ожидание.

Пусть (X,Y) – система дискретных случайных величин. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при условии, что Х= , называется величина

М[Y│X= ]= .

Аналогично, условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при условии, что Y=y_j, называется величина

М[Х│Y= ]= , : ; .

Пусть - система непрерывных случайных величин. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что Х=x_i, определяется равенством:

М[Y│ ]= .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины X при условии, что Y=y_j, определяется равенством:

М[Х│ ]=

Для характеристики связи между величинами Х и Y служит корреляционный момент:

K_xy=М[ ]=M[(X – m_x)M(Y – m_y)].

Используя понятие корреляционного момента запишем еще одно свойство дисперсии, а именно - дисперсия суммы двух случайных величин определяется равенством:

D[X+Y] = D[X]+D[Y]+2K_xy

Корреляционный момент иначе называется ковариация и обозначается cov(Х, Y).

Величина корреляционного момента вычисляется по формулам:

а) если Х и Y – дискретные случайные величины:

K_xy= , : ; .

б) если Х и Y – непрерывные случайные величины:

K_xy= ,

где - плотность вероятности двумерной случайной величины ,

, - математические ожидания компонент .

Корреляционный момент удобно вычислять по формуле:

K_xy=М[ХY]-М[Х]М[Y].

Если Х и Y независимы, то K_xy=0. Таким образом, если K_xy 0, то случайные величины Х и Y зависимы. В этом случае случайные величины Х и Y называются коррелированными.

Когда K_xy=0, случайные величины Х и Y называются некоррелированными.

Из рассмотренного свойства корреляционного момента получаем важное следствие. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий если величины X и Y независимы, т.е.

D[X+Y] = D[X]+D[Y]+2K_xy

Коэффициент корреляции (r_xy) для двух случайных величин Х и Y есть безразмерная величина:

r_xy= ,

где , - средние квадратические отклонения величин Х и Y соответственно.

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y.