Непрерывные случайные величины.

Случайная величина Х является непрерывной, если непрерывна её функция распределения F(x).

Для непрерывной случайной величины можно задать закон распределения также в виде некоторой функции, которая называется плотностью распределения, или плотность вероятности.

Функция называется плотностью распределения, или плотностью вероятности, если выполняются условия:

1. F(x)= ,

где F(x) - функция распределения (интегральная),

- переменная интегрирования.

2)

3)

Вероятность попадания случайной величины Х на отрезок :

Числовые характеристики случайных величин.

Случайная величина полностью определяется законом распределения. Но на практике часто достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики, которые отражают особенности распределения случайной величины. К таким характеристикам относятся среднее значение случайной величины; отклонение от среднего значения.

Число, которое характеризует среднее значение случайной величины называется математическим ожиданием.

Математическое ожидание.

Х	x 1	x 2	…	x i	…
p	p1	p 2	…	pi	…

М[Х], m_x – математическое ожидание.

М[Х]= - для дискретной случайной величины

Пример.

Х	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

М[Х]= .

М[Х]= - для непрерывной случайной величины.

плотность распределения.

Свойства математического ожидания.

1. М[С]=С (С – постоянная).

2. М[СХ]=С М[Х].

3. Если есть две случайные величины: Х и Y, то М[Х+ Y]= М[Х]+ +М[Y].

4. Если есть две независимые случайные величины: Х и Y, то М[ХY]=М[Х]М[Y].

Дисперсия.

Дисперсия – число, которое характеризует степень отклонения случайной величины от её среднего значения (математического ожидания). Определяется как средний квадрат отклонения случайной величины.

- отклонение случайной величины от её среднего значения

D[X] =М[ ²]=М[( )²]= =М[ ]=М[ ] =М[ ]- .

Если случайная величина задана в виде таблицы, то

D[X] = .

Для непрерывной случайной величины:

D[X] = .

Свойства дисперсии.

1. D [С]=0.

2. D [СХ]=С²D[Х].

3. D[X+ Y]=D[Х]+D[Y]+2М[ ],

где

.

4. Величина М[ ] называется корреляционным моментом, или ковариацией.

К[X,Y]=М[ ].

Если случайные величины Х и Y независимы, то К[X,Y]=0 и

D[X+Y]=D[Х]+D[Y].

Некоторые законы распределения. Биномиальный закон распределения.

Пусть проводятся n опытов. В каждом опыте с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие А.

Рассматривается случайная величина Х – число наступления события в n опытах.

Тогда таблица вида

Х	0	1	…	n-1	n
p	pn^0	pn^1	…	pn^n^-1	pn^n

где вероятности p_n^х определяются по формуле Бернулли

, определяет биномиальный закон распределения.