2.4. Методика расчета однофазных линейных электрических цепей переменного тока

К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рис. 2.35, подключен источник синусоидального напряжения U=311×sin(ωt + 45˚) В частотой f=50 Гц.

Параметры элементов схемы замещения: R₁ = 5 Ом, R₂ = 8 Ом, L₁ = 39,8 мГн,

L₂ = 19 мГн, C₁ = 162,5 мкФ, C₂ = 192 мкФ.

Выполнить следующее:

1)определить реактивные сопротивления цепи;

2)определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;

3)записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4)составить баланс активных и реактивных мощностей;

5)построить векторную диаграмму токов, совмещённую с топографической

Дано: R₁ = 5 Ом, R₂ = 8 Ом

L₁ = 39,8 мГн, L₂ = 19мГн С₁ = 162,5 мкФ, С₂ = 192 мкФ

векторной диаграммой напряжений.

Определить: X_L1, X_L2 , X_C1. X_C1,

I, I₁, I₂, I₃, I₄, i.

1)Реактивное сопротивление элементов цепи:

X_L1 = ωL₁= 2πf L₁= 314·39,8·10^-3= 12,5 Ом;

X_L2= ωL₂= 2πf L₂= 314·19·10^-3= 6 Ом;

X_C1=1/ωC₁=1/2πf C₁=1·10⁶/314·162,5=19,6 Ом;

X_C2=1/ωC₂=1/2πf C₂=1·10⁶/314·192=16,6 Ом;

2)Расчёт токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований.

Представим схему, приведенную на рис. 2.35, в следующем виде:

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Z₁=R₁ – jX_C1 = 5- j19,6= ·e^{jarctg -19.6˚/5} = 20,2e^-j75.6˚ Ом;

Z₂=jX_L1= j12.5 = 12,5e^j90˚ Ом;

Z₃=R₂ + jX_L2 = 8 + j6 = 10e­^j37˚ Ом;

Z₃= -jX_C2= -j16,6 = 16,6e^-j90˚ Ом;

Z_{3 4}= Z₃· Z₄ / Z₃+ Z₄=10e^j37˚·16,6e^-j90˚/ 8+j6 - j16,6=166e^-j53˚/8 - j10,6=12,5 Ом;

Z_{2 3 4}= Z₂+ Z₃₄ = j12,5 + 12,5= 17,7e^j45˚ Ом;

Z_экв= Z₁· Z_{2 3 4} / Z₁ + Z_{2 3 4} = 20,2e^-j75.6˚·17,7e^j45˚ / 5- j19,6+j12,5+12,5=

=357,54e^-j30.6˚ / 18,89e^-j22.1˚=18,92e^-j8.5˚ Ом;

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

U =( U_M/_√2 ) · e^jΨ=( 311/_√2 ) · e^j45 =220e^j45˚ В;

Вычислим токи ветвей и общий ток цепи:

I₁=U/ Z₁=220e^j45˚/20,2e^-j75.6˚=10,9e^j120.6˚ А;

I₂= U/ Z₂₃₄=220e^j45˚/17,7e^j45˚ = 12,4 А;

I=U/ Z_экв=220e^j45˚/18,92e^-j8.5˚=11,62e^j53.5˚ А или

I= I₁+ I₂= 10,9e^j120.6+12,4=10,9 · cos120,6˚+j10,9 · sin120,6˚+ 12,4 =

=6,85+j9,4=11,6e^j54˚ А;

Для определения токов параллельных ветвей I₃ и I₄ рассчитаем напряжение на зажимах этих ветвей.

U_ab = U₃₄=I₂ · Z₃₄=12,4·12,5 = 155 В;

I₃= U_ab / Z₃ =155 / 10e^j37˚=15,5e^-j37˚ А;

I₄= U_ab / Z₄ =155 / 16,6e^-j90˚=9,35e^j90˚ А

3) Уравнение мгновенного знамения тока источника:

i = I_M sin(ωt + ψ_i)

i = 11,6√2 sin(ωt + 54°) =16,3sin(314t + 54°) A

4) Комплексная мощность цепи:

S=U I^* = 220 e^j45° · 11,6e^-j54° = 2550e^-j9° = 2510 - j400 BA;

где S_ист = 2550 BA,

Р_ист = 2510 Вт,

Q_ист = - 400 вар (знак минус определяет емкостный характер на­грузки в целом).

Активная Р_пр и реактивная Q_пр мощности приемников:

Р_пр = I₁² R₁ + I₃² R₂= 10,9² ·5+15,5² ·8 = 2510 Вт;

Q_пр = I₁² (-Х_C1)+I₂² (Х_L1)+I₃² (Х_L2)+I₄² (-Х_C2) = 10,9² · (-19,6) + 12,4² ·12,5 +

+15,5² ·6 + 9,3 5² · (-16,6) = -400 вар.

Баланс мощностей выполняется:

Р_ист = Р_пр; Q_ист = Q_пр

или в комплексной форме:

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = U₁ I₁^* + U₂ I₂^* + U₃ I₃^* + U₄ I₄^*;

где U₂ =I₂ Z₂ = 12,4 · j12,5 = j155 В = 155е^j90° В;

U₃ = U₄ = U₃₄

2510 - j400 = 220e^j45° ·10,9e^-j120,6° +155е^j90° ·12,4 +155 ·15,5e^j37° +155 · 9,35е^-j90° ;

2510 - j400 = 596,4 - j2322,7 + j1922 +1918,7 + j 1445,9 - j1449,3 ;

2510 - j400 = 2515 - j403,9 - баланс практически сходится.

5) Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

U_de = I₁ R₁ = 10,9 ·5 = 54,5 В;

U_eb = I_i X_C1 = 10,9 ·19,6 = 214 В;

U_da= U₂ =155 B;

U_ac = I₃ X_L2 = 15,5 ·6 = 93 В;

U_cb = I₃ R₂ = 15,5 ·8 = 124 В

6) Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: M_I = 2 А/см, М_U = 20 В/см.

Определяем длины векторов токов и напряжений;

I_I­­=I/M_I=11,6/2=5,8 см; I_U=U/M_U=220/20=11cм

I_I1=I₁/M₁=10,9/2=5,45 см; I_Ude=U_de/M_U=54,5/20=2,73 см

I_I2=I₂/M₁=12,4/2=6,2 cм; I_Ueb=U_eb/M_U=214/20=10,7 cм

I_I3=I₃/M_I=15,5/2= 7,75 cм; I_Uda=U_da/M_U=155/20=7,75 cм

I_I4=I₄/M_I=9,35/2=4,68 см; I_Uac=U_ac/M_U=93/20=4,65 см

I_Uab=U_ab/M_U=155/20=7,75 cм; I_Ucb=U_cb/M_U=124/20=6,2 см

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными; значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Так, вектор тока I₁ = 10,9e^jl20,6° А повернут относи­тельно оси (+1) на угол 120,6° и длина его l_I1 = 5,45 см, вектор тока I₂ = 12,4 А совпадает c действительной осью и длина его l_I2=6,2 см и т. д.

Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определенная точка электри­ческой цепи. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относи­тельно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение сов­падают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°, а на емкостном напряжение отстает от тока на 90°. Направление обхо­да участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительно­му направлению токов. Обход начинаем от точки "b", потенциал которой принимаем за исходный (φ_b = 0). Точку "b" помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки "b" к точке "е" потенциал повышается на величину падения напряжения на емкостном сопротивле­нии X_C1. Вектор этого напряжения U_eb отстает по фазе от вектора тока I₁ на 90°. Конец вектора U_eb определяет потенциал точки "е". Потенциал точки "d" выше, чем потенциал точки "е", на величину падения напряжения U_de = I₁ R₁. Вектор U_de откладываем от точки "е" параллельно вектору тока I₁. Конец U_de определяет потенциал точки "d". Соединив отрезком прямой "b" и "d" получим вектор напряжения на зажимах цепи

U = U_db = 220e^j45° В.

Аналогично строим векторы напряжений других участков цепи, со­храняя обход навстречу току. От точки "b" проводим вектор U_cb парал­лельно вектору I₃. Конец вектора U_cb определяет потенциал точки "с". От точки "с" откладываем вектор U_ac, опережающий вектор тока I₃ на 90°, т. к. участок "ас" содержит индуктивное сопротивление X_L2. Затем от точ­ки "а" откладываем вектор U_da, опережающий вектор тока I₂ на 90°. Ко­нец U_da определяет потенциал точки "d".

Соединив отрезком прямой "b" и "d", получим вектор напряжений U_ab = 155 В.