1.3. Методика расчета линейных электрических цепей

постоянного тока.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.38, выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода нало­жения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Дано: Е₁=40 В; Е₂=60 В;

R₁= 18 Ом; R₂=36 Ом;

R₃= 16 Ом; R₄=24Ом;

R₅=40 Ом; R₆=34 Ом;

R₀₁=2 Ом; R₀₂=4 Ом;

Определить I₁, I₂, I₃, I₄, I₅

1) Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При растете данным методом произвольно задаем направления токов в ветвях I₁,I₂,I₃,I₄,I₅.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m - 5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цени с л узлами можно составить (n—1) независимых уравнений. В нашей цепи три узла (А, В, С), значит, число уравнении n - 1 = 3 - 1 = 2. Составляем два уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов В и С.

Узел В: I₁+ I₂= I₄

Узел C: I₃+ I₅= I₂

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по вто­рому закону Кирхгофа.

Контур АДСВА - обход по часовой стрелке

Е₂ - Е₁=I₂ ·(R₂+R₀₂)-I₁ · (R₁+R₀₁)+ I₃ · (R₃+R₆)

Контур АВА'А — обход по часовой стрелке

E₁=I₁· (R₁+R₀₁)+I₄·R₄

Контур А'СВ А' — обход против часовой стрелки

Е₂=I₂· (R₂+R₀₂)+I₄·R₄+I₅·R₅

ЭДС в контуре берется со знаком "+" если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает — знак "—". Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура со знаком "—", если не совпадает. Мы получили систему из пяти уравнений с пятью неизвестными:

I₄=I₁+I₂

I₂=I₃+I₅

E₂-E₁=I₂· (R₂+R₀₂)+I₃· (R₃+R₆)-I₁· (R₁+R₀₁)

E₁=I₁· (R₁+R₀₁)+I₄·R₄

E₂=I₂· (R₂+R₀₂)+I₄·R₄+I₅·R₅

Решив систему, определим величину и направление тока во всех вет­вях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком '-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов.

Метод контурных токов основан на использовании только второго за­кона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.38) можно рассмотреть три контура-ячейки (АДСВА, АВА'А, А'СВА') и ввести для них контурные токи I_1K, I_2K, I_3K.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другое контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнении по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом кон­турных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_1K, I_2K, I_3K в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Е₁= I_1к · (R₁ +R₀₁ + R₄ ) + I_1K·R₄ - I_1K · ( R₁ + R₀₁ )

Е₂ = I_2K · ( R₁ + R₀₂ + R₄ + R₅ ) + I_1K·R₄ + I_3K · ( R₂ + R₀₂ )

E₂ - E₁= I_3K · ( R₀₁ + R₀₂ + R₁ + R₀₂ + R₆ + R₅ ) - I_1к · (R₁ +R₀₁ ) + I_2K · ( R₂ + R₀₂ )

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений

40 = I_1к· (18 + 2 + 24) +I_2K ·24 - I_3K· (18 + 2)

60 = I_2K · (36 + 4 + 24+ 40) + I_1к ·24 + I_3K · (36 + 4)

60 - 40 = I_3K · (36 + 4+18 + 2+16 + 34) - I_1к · (18 + 2) + I_2K · (36 + 4)

или

40 = I_1к ·44 + I_2K ·24 - I_3K ·20

60 = I_1к ·24 + I_2K ·104 + I_3K ·40

60 - 40 = - I_1к ·20 + I_2K ·40 + I_3K ·110

Сократив первое уравнение на 4, второе – на 4, третье - на 10 получим:

10 = I_1к 11 + I_2K 6 - I_3K 5

15 = I_1к 6 + I_2K 26 + I_3K 10

2 = - I_1к 2 + I_2K 4 + I_3K 11

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы дельта и частные определители дельта 1, дельта 2, дельта 3.

Вычисляем контурные токи:

I_1k= ∆1 / ∆ = 1550 / 1810 = 0,856 А

I_2k= ∆2 / ∆ = 420 / 1810 =0,232 А

I_3k= ∆3 / ∆ = 525 / 1810 = 0,290 А

I₁ = I_1K - I_3K = 0,856-0,232= 0,624 A

I₂ = I_3K + I_2K = 0,290+0,232 = 0,522 A

I₃ = I_3K = 0,232 A

I₄ = I_1K + I_2K = 0,856 + 0,290 = 1,146A

I₅ = I_2K = 0,290 A

3 ) Определить токи во всех ветвях схемы на основания метода наложения

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определяем частные токи от ЭДС 1 при отсутствии ЭДС 2 , т. е. рассчитываем цепь по рис. 1.39.

Показываем направление частных токов от ЭДС Е₁ и обозначаем буквой I с одним штрихом (I`). Решаем задачу методом "свертывания"

R₃₆₅ = R₅ ·R₃₆ / R₅ + R₃₆ = 40·50/40+50=22,22 Ом

R_2,02,365 = R_2,02 + R₃₆₅ = 40 + 22,22 =62,22 Ом

R_4.2.02.356 = R₄ *R_2.02.356 / R₄ + R_2.02.356 = 17,320 Ом

R _экв = R₁ + R_4.2.02.356 = 35,320 Ом

Ток источника:

I₁^` = E₁ / R_экв + r₀₁ = 40 / 35.320 + 2 = 1,072 A

Применяя формулу разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей

I₄^{`</sup> = I<sub>1</sub><sup>`} - I₂^`` = 0,774 A

I₅^{``</sup> = I<sub>2</sub><sup>``} * R₃₆ / R₅ + R₃₆ = 0,166 A

I₃^`` = I₂^{`</sup> - I<sub>5</sub> <sup>`} = 0,132 A

О пределяем частные токи от ЭДС Е₂ при отсутствии ЭДС Е₁,т.е. рассчитываем простую цепь по рис. 1.40.

Показываем направление частных токов от ЭДС Е₂ и обозначаем их буквой I с двумя штрихами I``). Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R₃₆ = R₃ + R₆ = 50 Oм

R_1.01 = R₁ + R₀₁ = 20 Oм

R₃₆₅ = (R₃₆·R₅ )/ (R₃₆+R₅ ) = 22,222 Ом

R_1,01,4 = (R_1,01 ·R₄ ) / (R_1,01+R₄ ) = 10,909 Ом

R_экв = R_1,01,4 + R₆₃₅ = 69,131 Oм

Вычисляем ток источника

I₂^`` = E₂ / (R_{экв +} R₂ ) = 0,820 A

Применяем форму разброса и 1 закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей

I₅^{` `} = I₂^{``</sup> - I<sub>3</sub><sup>``} = 0,456 A

I₃^{``</sup> = I<sub>2</sub><sup>``} · R₅ / R₅ + R₃₆ = 0,364 A

I₄^{``</sup> = I<sub>2</sub><sup>``} - I₁ ^`` = 0,373 A

I₁^`` = I₂^` · R₄ / R₄ + R_1.01 = 0,447 A

Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рис. 1.38), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I₁ = I₁^` - I₁^`` = 0,625 A

I₂ = I₂^`` - I₂^` = 0,522 A

I₃ = I₃^`` - I₃^` = 0,232 A

I₄ = I₄^{``</sup> + I<sub>4</sub><sup>``} = 1,147A

I₅ = I₅^`` - I₅^` = 0,290 A

4) Составить баланс мощностей для заданной схемы.

Источники Е, и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E₂ I₂ + I₁ E₁ = I₁² · (R₁ + R₀₁ ) + I₂² · (R₂ + R₀₂ ) + I₃² · (R₃ + R₆ ) + I₄² · R₄ + I₅² · R₅

Подставляем числовые значения и вычисляем

56,280 Вт = 56,262 Вт.

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.