2.6. Методика исследования переходных процессов в электрических цепях

2.6.1. Методика исследования переходных процессов в электрических цепях, содержащих катушку индуктивности

Цепь содержит катушку с сопротивлением R= 10 Ом и индуктивно­стью L=200 мГн, Rp=10 Ом, напряжение источника питания 60 В.

Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Оп­ределить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 2τ. Схема цепи приведена на рис. 2.42.

1. Устанавливаем переключатели в положение 1 (под включение ка­тушки к источнику постоянного напряжения).

До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, т. е. в момент начала переходного процесса (t = 0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т. е. i₀ = 0.

После коммутации ток стремится достигнуть величины установив­шегося тока (i_уст), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Согласно схеме

i_уст=I=U/R=60/10= 10 A

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде

i= i_уст+i_св= i_уст+Ае^-t/τ

В этой формуле

i_св=Ае^-t/τ,

где i_св - свободная составляющая тока;

А - постоянная интегрирования;

е = 2,71 — основание натурального логарифма;

τ — постоянная времени переходного процесса,

τ =L/R, где R - величина сопротивления, через которое про­ходит переходный ток;

t — текущее время.

Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение i= i_уст+i_св= i_уст+Ае^-t/τ примет вид:

i₀= i_уст+A, т. к. е⁰=1

Значит, А= i_уст- i₀=0 - I, то есть А= -I

Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при вклю­чении катушки

i= i_уст+i_св= i_уст+Ае^-t/τ=I - Iе^-t/τ=I·(1-е^-t/τ);

В нашем случае i = 6· (1-е^-t/τ);

Находим постоянную времени переходного процесса

τ =L/R=200·10^-3/10=0,2/10=0,02 с

Практическая длительность переходного процесса

t=5τ=5*0,02=0,1 с

Строим график переходного тока i - f(t), задавшись моментом вре­мени t = 0, t =τ, t=2τ, t=3τ, t = 4τ, t = 5τ.

Значения переходного тока для заданных значений времени:

t=0, i₀ = 6(l- Iе^-0/τ) = 6· (l- l) = 0 A;

t =τ, i₁=6· (1- Iе^-t/τ)=6· (1 - е^-1)=6· (1- 0,367)=3,79 А;

t =2τ, i₂=6· (1- Iе^-2t/τ)=6· (1-е^-2)=6· (1- 0,135)=5,19 А;

t=3τ, i₃= 6· (1 - Iе^-3t/τ)=6· (1-е^-3) =6· (1- 0,049) =5,70 А;

t=4τ, i₄=6· (1- Iе^-4t/τ)=6· (1 - е^-4)=6· (1- 0,018) =5,89 А;

t=5τ, i₅=6· (1- Iе^-5t/τ)=6· (1 - е^-5)= 6· (1 - 0,007) =5,96 А

Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы

е_L=-L·di/dt=-L·d/dt(I- Iе^-t/τ)=-I·L·1/τ·е^-t/τ=-I·L·R/L е^-t/τ==-I·R· е^-t/τ=-Uе^-t/τ

В нашем случае е_L=-60 е^-t/τ В

Значения е для заданных значений времени следующие:

t= 0, e₀=-60· е⁰ =-60 B

t= 1τ, e₁=- 60· е^-1=60·0,367=-22,02 В

t=2τ, е₂=-60· е^-2=-60-0,135=-8,1 В

t=3τ, е₃=- 60· е^-1=-60-0,049=-2,94 В

t=4τ, е₄=- 60· е^-1=-60-0,018=-1,08 В

t=5τ, е₅=- 60· е^-1=-60-0,007=-0,42 В

Энергию магнитного поля при t = 2τ можно вычислить так:

W_м= L·i₂² /2=0,2·5,19²/2=2,96 Дж

2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновре­менном ее замыкании на сопротивление).

В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного по­ля непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении контура идет необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

i= i_уст+i_св= i_уст+Ае^-t/τ

В этом случае i_усв= 0, т. к. при отключении цепи от источника ток в цепи будет равен нулю.

Тогда i=Ае^-t/τ,

где τ=L/(R+R_p)=0,2/(10+10)=0,2/20=0,01 с - постоянная времени переходного процесса.

Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение

i=Ае^-t/τ примет вид:

i₀=A*e⁰, т. е. i⁰=A,

но i⁰=U/R=60/10=6 A - согласно первому закону коммутации ток в первый момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до коммутации.

Значит, А = 6 А, тогда i = 6е^-t/τ А. Длительность переходного процесса

t= 5τ = 5·0,01 =0,05 с

Строим график i=f(t) (рис. 2.45), задавшись моментами времени t = 0, τ =τ, 2τ, 3τ, 4т, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.1.

Таблица 2.3.1

t, с	0	τ	2 τ	3 τ	4 τ	5 τ
i, А	6	2,2	0,81	0,294	0,108	0,012

В соответствии с законом изменения ЭДС самоиндукции получим

е_L= -L·di/dt = -L·d/dt· (Iе^-t/τ) = I·L·1/τ ·е^-t/τ=Uе^-t/τ

В нашем случае

е_L= Uе^-t/τ=60е^-t/τ B

Строим график e_L = f(t) (рис. 2.46), задавшись моментами времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.2

Таблица 2.3.2

t, с	0	τ	2 τ	3 τ	4 τ	5 τ
i, А	60	22,02	8,1	2,94	1,08	0,42