2.3. Расчет резонанса токов в электрических цепях

на примере частотно-избирательных фильтров

Как известно, по форме кривой напряжения (или виду ее симметрии) можно заранее определить какие номера гармоник во всем спектре будут отсутствовать. Так в кривой фазного напряжения преобразователя частоты с ШИМ, обладающей симметрией типа f(t)+f(t–T/3)+f(t–2T/3)=0, кроме высших гармоник от основной до гармоник с частотами близкими к несущей частоте, отсутствуют также гармоники кратные трем и кратные двум.

В связи с тем, что ряд гармоник в таком напряжении уже исключен, представляет интерес метод определения гармонических составляющих, основанный на использовании частотно-избирательных LC-фильтров. Такие фильтры представляют собой доступный для практической реализации инструмент для исследования выборочных спектральных составляющих кривых напряжения с ШИМ. Их действие основано на эффекте резонанса токов, они обладают узкой полосой пропускания, и включается в цепь как показано на рис. 2.3.1.

Рис. 2.3.1. Схема включения фильтра

Напряжение источника u представляет собой однополярную синусоидальную ШИМ, временная диаграмма которого приведена на рис. 2.2.5. в предыдущем разделе

Как известно [3 и др.], выражение для определения комплексной входной проводимости резонансного контура имеет вид:

. (2.3.1)

После выделения действительной и мнимой частей получаем выражение вида

, (2.3.2)

где – активная проводимость резонансного контура;

– реактивная проводимость резонансного контура.

Используя условие резонанса токов, положим b = 0, откуда находим выражение для определения резонансной частоты:

. (2.3.3)

Добротность данного контура определяется следующим образом [3]:

, (2.3.4)

где – характеристическая проводимость резонансного контура.

Известно также, что добротность определяет избирательные свойства контура:

,

где – ширина полосы заграждения на уровне 70 % от входного сопротивления контура на резонансной частоте.

Рассмотрим случай выделения основной гармоники линейного напряжения с ШИМ (см. рис. 2.3.1). Принимаем величину резонансной частоты f₀ = f_осн = 50 Гц ( ).

Добротность контура выбирается исходя из условий обеспечения узкой полосы заграждения Δf и приемлемого времени переходного процесса (в случае использования компьютерного моделирования затрудняется определение установившихся значений из-за длительного переходного процесса, что имеет место при большой добротности). Принимаем Q = 100, активное сопротивление катушки R = 0,1 Ом.

Решая совместно уравнения (2.3.3) и (2.3.4), находим параметры резонансного контура:

L = 31,831 мГн, С = 318,28 мкФ.

Для резонансной частоты входное сопротивление резонансного контура имеет максимальное значение и является чисто активным:

Z_вх = R_вх ≈ 1000 Ом.

Величина R_доб в схеме на рис. 2.3.2 выбирается таким образом, чтобы придать источнику напряжения u свойство источника тока по отношению к резонансному контуру. С учетом этого принимаем R_доб = 20 000 Ом.

В окне моделирования программы Micro-Cap создаем источник напряжения с ШИМ (см. раздел 2.2) и подключенный к нему резонансный фильтр с параметрами, определенными выше (рис. 2.3.2).

Рис. 2.3.2. Модель однофазного источника ШИМ с избирательным

резонансным LC-фильтром по основной гармонике

В результате моделирования электромагнитных процессов в схеме выходное напряжение резонансного фильтра u_ф (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.3. Окно вывода результатов моделирования Micro-Cap 8:

временная диаграмма выходного напряжения фильтра (f₀ = 50 Гц)

Данная кривая представляет собой синусоиду с частотой 50 Гц. Амплитуда напряжения U_м составляет 14,82 В (действующее значение U = 10,48 В).

Действующее значение основной гармоники напряжения источника определим расчетным путем, воспользовавшись полученным результатом моделирования:

В.

Определим параметры резонансного контура при резонансной частоте, равной несущей частоте ШИМ (700 Гц). После расчета по указанному выше алгоритму имеем следующие значения:

– добротность контура Q = 100;

– активное сопротивление катушки R = 0,1 Ом;

– индуктивность катушки L = 2,2736 мГн;

– емкость конденсатора С = 22,734 мкФ.

В результате моделирования в Micro-Cap 8 резонансного процесса с данными параметрами контура получаем временную диаграмму выходного напряжения резонансного фильтра u_ф, которая представлена на рис. 2.3.4.

Рис. 2.3.4. Окно вывода результатов моделирования Micro-Cap 8:

временная диаграмма выходного напряжения фильтра (f₀ = 700 Гц)

Как видно из рисунка, в кривой напряжения с ШИМ отсутствует гармоника с частотой 700 Гц. На этой частоте в резонансном контуре возникают биения – колебательный процесс, получающийся в результате сложения двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами и близкими, но не равными, частотами. Огибающая данных колебаний имеет частоту 50 Гц.

Из теории электротехники известно, что если результирующая функция равна сумме двух синусоидально изменяющихся:

,

то, прибегнув к несложным тригонометрическим преобразованиям, можно представить следующим образом:

,

где – частота огибающей колебаний, рад/с;

– частота колебаний при биении, рад/с.

Исходя из приведенных соотношений и полученных результатов моделирования (рис. 2.3.4) делаем вывод, что на резонансном фильтре выделена функция являющаяся результатом сложения двух гармоник с одинаковыми амплитудами и частотами 650 и 750 Гц.

Такой результат подтверждают данные разложения в ряд Фурье, приведенные в разделе 2.2. Четные гармоники ряда отсутствуют (и, соответственно, гармоника с частотой 700 Гц). Гармониками с близкими частотами и практически равными амплитудами являются 13 и 15 гармоники (650 и 750 Гц).

Данный принцип нахождения спектральных составляющих нагляден и представляет интерес в качестве доступного средства исследования гармоник ряда Фурье, как при решении инженерных задач, так и в учебном процессе при использовании компьютерного моделирования.