Задание 23. Вычислить интеграл
Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:
Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:
Проверка:
Задание 24.
Вычислить интеграл
Решение:
Первый способ. Полагая , получим
Второй способ.
Умножая и деля на –2 и замечая, что , получим
Проверка:
Задание 25. Вычислить интеграл
Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, заменить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.
Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:
. Далее, заменяя , , получим:
Проверка:
Задание 26. Вычислить интеграл .
Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод интегрирования по частям. Положив , , найдем:
. Подставляя в формулу
, получим
Проверка:
При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.
Задание 27.
Вычислить интеграл
Решение:
Имеем . Разложим рациональную дробь.
на простейшие дроби, имея в виду, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней:
Отыщем методом неопределенных коэффициентов постоянные А, В, С. Умножая на х3 + 1 обе части равенства, получим:
Это равенство тождественно по х тогда и только тогда, когда выполнены равенства (равны коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях):
При х2 А + В = 0
При х1 –А + В + С = 0
При х0 А + С = 1
(свободный член)
Полученная система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет следующее решение:
Итак, . Интегрируя, получим:
Проверка:
Задание 28. Вычислить интеграл
Решение: Подстановка , где k – общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию, приводит к интегралу от рациональной дроби.
В нашем примере х входит в подынтегральную функцию под радикалами с показателями 2 и 3. Следовательно, делаем подстановку .
Тогда:
Задание 29.
Вычислить интеграл
Решение: Т.к. при изменении знаков sinx и cosx подынтегральное выражение не меняет знака, применим подстановку
Интегрируя, получим:
Проверка:
Задание 30. Вычислить интеграл
Решение: Поскольку подынтегральная функция рационально зависит от sinx и cosх, то применим универсальную подстановку
Интегрируя, получим:
Проверка:
Задание 31. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2 – х2 .
Р
х – 2 + х2 = 0
х1 = –2; х2 = 1
Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми:
При а = –2, b = 1, f2(x) = 2 – x2, f1(x) = x
Получим:
Ответ: кв. ед.
Задание 32. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси ОХ.
Решение:
Ограниченная
линиями
и
фигура, при вращении вокруг оси ОХ
образует тело, объем которого можно
найти как разность объемов V1
и V2,
образованных вращением вокруг оси ОХ
трапецией А1АВВ1
и А1АОВВ1.
Искомый объем
Задание 33. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
Решение: Определение называется предел