Задание 34.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение: Уравнение вида называется однородным, если Р(х, у) и Q (х, у) – однородные функции одного измерения. Функция f (x, у) называется однородной измерения m, если . Однородное уравнение может быть приведено к виду подстановка y = tx преобразует это уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

В данном уравнении . Обе функции однородные 2-го измерения. Введем подстановку . Тогда уравнение принимает вид:

или

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

преобразуем второй интеграл:

или

Возвращаясь к прежней неизвестной функции у, находим окончательный ответ:

(общий интеграл)

Задание 35. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

Решение: Уравнение вида называется линейным, если у и у’ входят в первых степенях. Если Q(x)  0, то уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x) = 0 – линейным однородным. Общее решение однородного уравнения получается разделением переменных в уравнении . Нам надо уравнение , разделим на , тогда получим, что , а соответствующее одно

родное уравнение + = 0. Разделяем в этом уравнении переменные

и интегрируем тогда у = Полагаем теперь, что С- функция от х, т.е. С=С(х) и найдем эту функцию, используя правую часть уравнения

у=С(х)

Подставляем теперь в уравнение, тогда получаем

после приведения подобных членов получаем:

разделяя переменные получаем:

( - произвольная постоянная)

подставляем теперь полученное значение для С(х) в выражение для об­щего решения и получаем:

у = или это и есть общее ре­шение данного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения 1-го порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. Полагая у=UV, где U=U(х) и V=V(х), преобразуем исходное уравнение у' +Р(х)у = Q(х) к виду:

или

U[V' + Р(х)V] + VU ' = Q(х) выберем теперь V таким образом, чтобы

V'+Р(х) =0, т.е. V=

тогда или

или .

Теперь найдем общее решение

Для нашего примера будем иметь:

;

тогда

подставляем это значение в уравнение и получаем:

тогда

и , т.е. общее решение

уравнения

Задание 36.

Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1; у'(0)=2.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнени­ем 2-го порядка с постоянными коэффициентами ,

правая часть которого имеет вид (или сумму функций такого типа). Здесь и постоянные, и - многочлены от х степеней n и m соответственно.

Общее решение этого уравнения будем искать как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е.

= 0 и частного решения данного неоднородного уравнения. Составим для уравнения = 0 характеристическое уравнение =0, тогда возможны три случая:

I). и - действительные и различные, тогда

II). и - действительные и равные , тогда

III). и - комплексные и сопряженные , тогда

для нашего случая имеем:

(первый случаи)

т.е.

Частное решение уравнения для заданного вида пра­вой части следует искать в виде

где r- равно показателю кратности корня (если он совпадает с корнем характеристического уравнения) и r=0, если не совпадает с , - полные многочлены степени 1=mах{m,n}, с неопределенными коэф­фициентами. Если правая часть равна сумме нескольких различных функ­ций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения та­кого уравнения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части и взять их сумму. В нашем случае m=n=0 и, сле­довательно 1=0, тогда

(d=0, b=1 т.е. что не совпадает с корнями характеристического многочлена).

подставим в исходное уравнение и полу­чим:

Отсюда т.е. А=0, В=1

Следовательно, общее решение данного уравнения будет

.

Найдем теперь и , используя начальные условия:

Отсюда =0, =1 и - будет частным решением дифференциаль­ного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоян­ными коэффициентами, когда правая часть его имеет вид :

(или является суммой функций такого вида), и - постоянные и

многочлены степеней m и n. А само уравнение:

(1)

Общее решение уравнения (1) будем искать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Для определения общего решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, соответствующее данному линейному од­нородному уравнению с постоянными коэффициентами, т.е.

Оно является уравнением n-ой степени и имеет n корней. Среди корней могут быть вещественные и комплексные, различные и кратные.