Задание 37.
Найти область сходимости ряда:
Применим признак Даламбера:
.
Найдем
,
пусть этот предел равен
, тогда при тех х, для которых
<1,
ряд сходится, при тех х, для которых
>1,
ряд расходится, а при тех х, для которых
=1,
следует провести дополнительные
исследования.
т.е. при
ряд сходится, при
ряд расходится. Исследуем сходи-
мость ряда на границах промежутка, т.е.
для тех х, при которых
.
Если х =
,
то получаем ряд
Этот числовой ряд расходится. Его можно сравнить с гармоническим
рядом
по теореме о сравнении числовых рядов
мы получаем, что
исследуемый ряд расходится, т.к.
гармонический ряд
расходится, а
предел отношения n-ых
членов рядов при n
равен константе, отличной от 0. Т.е. при
х =
ряд расходится. При х =
получаем знакочередующийся ряд
По теореме Лейбница этот ряд условно сходится. Действительно:
I). ряд знакочередующийся;
II).
(убывающий)
III).
Таким образом заданный ряд сходится,
если
Задание 38
Вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную
функцию в степенной ряд и почленно
интегрируя этот ряд:
Решение. Заменим в подынтегральном выражении 1n(1+х) его разложение в степенной ряд
Разделим почленно на х и проинтегрируем, тогда
Докажем теперь, что выполнена требуемая точность.
Рассмотрим первый отброшенный член
В силу следствия из теоремы Лейбница (если числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то модуль суммы остатка не превосходит модуля первого отброшенного члена).
Модуль суммы всех отбрасываемых членов
не больше
,
т.е. вычисления проведены с заданной
точностью.