1.3.2. Неполные уравнения плоскости

Здесь будем рассматривать частные случаи уравнения первой степени, когда какие-либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в нуль:

1. D=0: Аx+Вy+Сz=0 - определяет плоскость, проходящую через начало координат, т.к. числа x=0; y=0; z=0 удовлетворяют уравнению Аx+Вy+Сz=0. Следовательно начало координат принадлежит плоскости.

2. С=0: Аx+Вy+D=0 определяет плоскость, параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). В этом случае нормальный вектор ={А; В; С} имеет нулевую проекцию на ось Oz (С=0); следовательно, этот вектор перпендикулярен оси Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).

3. В=0 и С=0: Аx+D=0 - определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz (или совпадающую с ней). В этом случае нормальный вектор ={А; В; С} имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz (В=0 и С=0); следовательно, вектор N перпендикулярен к осям Oy и Oz, а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Аx+D=0, параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.

По аналогии с предыдущим легко установить, что:

1. Уравнение Аx+Сz+D=0 задает плоскость, параллельную оси Oy (или проходящую через нее). Уравнение Вy+Сz+D=0 задает плоскость, параллельную оси Oх (или проходящую через нее).

2. Уравнение Вy+D=0 задает плоскость, параллельную плоскости Oхz (или совпадающую с ней). Уравнение Сz+D=0 задает плоскость, параллельную плоскости Oхy (или совпадающую с ней).

1.3.3. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть в уравнении плоскости Аx+Вy+Сz+D=0 ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю. Сделав следующие преобразования:

Аx+Вy+Сz=-D;

И вводя обозначения ; ; , получим

Это специальный вид уравнения плоскости называемый уравнением плоскости "в отрезках". Здесь числа a, b, c имеют простой геометрический смысл, а именно a, b, c - это величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения плоскости с координатными осями. Точка пересечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости при условии y=z=0. Отсюда х=а. Таким образом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox, действительно равна а. Аналогично, отрезки отсекаемые плоскостью на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.

Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на координатных осях отрезки a=3; b=-4; c=2.

Решение. На основании предыдущего получаем искомое уравнение сразу:

или 4x-3y+6z-12=0.

1.3.4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Возьмем в пространстве XYZ некоторую плоскость П. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную к плоскости П. Назовем эту прямую нормалью, - и отметим буквой Р точку пересечения нормали с плоскостью П. На нормали введем положительное направление от начала координат О к точке Р. Если точка Р совпадает с О, т.е. данная плоскость проходит через начало координат, то положительное направление нормали выберем произвольно. Обозначим

через , ,  углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через р - длину отрезка ОР.

Мы выведем уравнение данной плоскости П, считая известными числа cos , cos , cos  и р. С этой целью возьмем на плоскости П произвольную точку М и обозначим через x, y, z ее координаты. Очевидно, проекция вектора на нормаль равна ОР, а так как положительное направление отрезка , то величина этого отрезка выражается положительным числом р:

(1)

Заметим, что ={x; y; z}, отсюда =xcos + ycos + zcos (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что x cos + ycos + zcos = р или

x cos + ycos + zcos - р=0 (3)

Это уравнение плоскости, оно носит специальное название: нормальное уравнение плоскости; в этом уравнении cos, cos, cos суть направляющие косинусы нормали, р - расстояние плоскости от начала координат.

Пусть как и ранее n нормаль к произвольной плоскости П, М*- произвольная точка пространства, d- ее расстояние отданной плоскости (см. рис. 1).

Условимся называть отклонением точки М* от данной плоскости число +d, если М* лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, -d, если М* лежит с другой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плоскости обозначим буквой ; таким образом, = d, причем полезно заметить, что =+d, когда точка М* и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и =-d, когда точка М* и начало координат лежат по одну сторону от плоскости (для точек, лежащих на плоскости, =0).

Теорема. Если точка М* имеет координаты (x*; y*; z*), а плоскость задана нормальным уравнением x cos + ycos + zcos - р=0, то отклонение точки М* от этой плоскости задается формулой

= x* cos + y*cos + z*cos - р.

Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль; пусть Q - ее проекция (рис. 1); тогда

=PQ=OQ - OP,

где PQ, OQ, OP - это величины направленных отрезков нормали: , и . Но OQ= , ОР=р; следовательно

= - р (5)

Из ранее доказанного

= x* cos + y*cos + z*cos (6)

Из равенств (5) и (6) получаем:

=x* cos + y*cos + z*cos - р

Теорема доказана.

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

Аx+Вy+Сz+D=0 (7)

• общее уравнение некоторой плоскости, а

x cos + ycos + zcos - р=0 (3)

• ее нормальное уравнение. Так как уравнения (7) и (3) определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е.

А=cos, В=cos, С=cos, D= -р. (8)

Чтобы найти множитель , возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим. Получим:

²(А²+В²+С²)= cos² + cos² + cos².

Т.к. cos² + cos² + cos²=1, то .

Число  называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем последнее из равенств (8): D= -р. Следовательно: знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если D=0, то знак нормирующего множителя можно выбирать по желанию.

Пример. Даны плоскость 12х-4y+3z+14=0 и точка М(1; 3; 4). Найти отклонение точки М от данной плоскости.

Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель: . Умножая данное уравнение на , получим исходное нормальное уравнение плоскости: . Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем: . Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена от нее на расстояние d=2.