- •1.3. Аналитическая геометрия в пространстве Для замечаний
- •1.3. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1.3.1. Плоскость как поверхность первого порядка
- •1.3.2. Неполные уравнения плоскости
- •1.3.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •1.3.4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •1.3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •1.3.6. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •1.3.7. Некоторые дополнительные предложения и примеры
1.3.7. Некоторые дополнительные предложения и примеры
В аналитической геометрии часто требуется составить уравнение прямой, зная две ее точки. Решим эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные точки:
М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2).
Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве направляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять вектор ; отсюда m=x2 - x1; n=y2 - y1; p=z2 - z1, окончательно получим
Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, проходящей через две данные точки: М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2).
Решим также в общем виде задачу: составить уравнение плоскости, проходящей через три различные точки: М1(x1; y1; z1); М2(x2; y2; z2); М3(x3; y3; z3).
Обозначим через x, y, z координаты произвольной точки М пространства и рассмотрим три вектора:
Точка М лежит на плоскости М1М2М3 в том и только в том случае, когда векторы , и компланарны; условием компланарности этих трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения или равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из их координат.
В нашем случае имеем:
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, так как ему удовлетворяют координаты x, y, z точки М в том и только в том случае, когда она лежит в этой плоскости.
Угол между двумя прямыми.
Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки, параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным нулю или .
Пусть даны уравнения двух прямых:
Обозначим угол между прямыми через , а угол между их направляющими векторами и - через . При этом
(1)
Так как = или = - , то cos=cos. Следовательно,
(2)
или в координатной форме:
(3)
Формулы (2) и (3) являются формулами для определения угла между двумя прямыми в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов и были пропорциональны:
(4)
Условие (4) является условием параллельности двух прямых в пространстве.
Для того, чтобы прямые были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы направляющие их векторы и были ортогональными.
Условие ортогональности двух векторов и :
m1m2+n1n2+p1p2=0 (5)
является условием перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Пример. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3; 2; -1) перпендикулярно двум прямым:
; .
Составим уравнение любой прямой, проходящей через точку М:
(5)
Используя условие перпендикулярности искомой прямой к прямой а1, а затем к прямой а2 получим
2m-3n+5p=0
4m+n-2p=0
Из этой однородной системы линейных уравнений с неизвестными m, n, p найдем отношения неизвестных:
Подставляя в уравнения прямой (6) вместо m, n, p пропорциональные им величины, получим искомые уравнения:
Углом между прямой и плоскостью называют любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости П:
Ax+By+Cz+D=0
и уравнения прямой :
={А; В; С}- нормальный вектор плоскости
={m; n; p} - направляющий вектор прямой
Обозначим угол между векторами и через , а угол между плоскостью П и прямой - через . Найдем косинус угла между векторами и :
При этом sin=cos. Следовательно,
или, в координатной форме,
Для того, чтобы плоскость П была параллельна прямой необходимо и достаточно, чтобы векторы ={А; В; С} и ={m; n; p} были ортогональны между собой.
Условие ортогональности двух векторов и может быть записано как равенство нулю их скалярного произведения:
( )=0
или в координатной форме:
Am+Bn+Cp=0
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы вектор был коллинеарен вектору .
Условие коллинеарности двух векторов и может быть записано как равенство нулю их векторного произведения:
[ ]=0
или
Пример. Составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М(-1; 2; -3) параллельно двум прямым:
Напишем уравнение связки плоскостей с центром в точке М:
A(x+1)+B(y-2)+C(z+3)=0 (4)
Используем условие параллельности плоскости П и прямой , а затем к прямой :
3А+4В+5С=0
2А-3В+С=0
Из этой системы однородных уравнений определим отношения коэффициентов А, В, С и затем в уравнение (4) вместо коэффициентов А, В, С подставим пропорциональные им величины:
;
11(x+1)+13(y-2)+17(z+3)=0;
11x+13y+17z+36=0.
Пучок плоскостей.
Через всякую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Пусть даны уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей:
(1)
Составим уравнение:
A1x+B1y+C1z+D1+(A2x+B2y+C2z+D2)=0, (2)
где - произвольное число. При любом это уравнение первой степени, кроме того, при любом это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую (1).
Действительно, если точка М0 принадлежит прямой (1), то:
и следовательно
A1x0+B1y0+C1z0+D1+(A2x0+B2y0+C2z0+D2)=0.
Уравнение (2) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую (1).
Уравнение (2) дает любую плоскость пучка, за исключением плоскости
A2x+B2y+C2z+D2=0.
Пример. Найти проекцию прямой
На плоскость 3x-4y+z-8=0 (П).
Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую ( )
2x-3y+4z-1+(x+5y-2z+3)=0 (3)
или (2+)x+(5-3)y+(4-2)z+(3-1)=0
Определим , используя условие перпендикулярности плоскостей:
3(2+)-4(5-3)+(4-2)=0. Откуда . Подставив значение в уравнение (3), найдем уравнение проектирующей плоскости:
Уравнения искомой проекции можно записать как уравнения линии пересечения плоскостей:
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:
3x+2y+5z+6+(x+4y+3z+4)=0 (*)
Преобразуем это уравнение: (3+)x+(2+4)y+(5+3)z+(6+4)=0. Используя условие параллельности прямой и плоскости получим: 3(3+)+2(2+4)-3(5+3)=0. Отсюда =1. Подставляя найденное значение в уравнение (*), найдем: 4x+6y+8z+10=0 или 2x+3y+4z+5=0.
Пример. Найти расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой
Решение. Проведем через М плоскость П, перпендикулярную к данной прямой и найдем точку Р, где эта плоскость пересекает данную прямую. Искомое расстояние от точки М до данной прямой будет равно расстоянию от точки М до точки Р.
Искомое уравнение плоскости П можно записать в виде:
A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0;
эта плоскость должна быть перпендикулярна к данной прямой. По условию перпендикулярности прямой к плоскости имеем:
.
Выбирая здесь множитель пропорциональности для простоты равным единице, находим А=2, В=5, С=-2. Итак, плоскость имеет уравнение 2(x-1)+5(y-1)-2(z-1)=0 или 2x+5y-2z-5=0.
Теперь мы должны найти точку Р, в которой эта плоскость пересекается с данной прямой. Для этого нужно уравнения данной прямой решить совместно с найденным уравнением плоскости П.
Отсюда x=2t+11, y=5t+18, z=4-2t. Подставляя эти уравнения в уравнение найденной плоскости 2x+5y-2z-5=0 получим:
4t+22+25t+90+4t-8-5=0;
33t=-99;
t=-3.
Координаты точки Р будут равны x=5, y=3, z=10.
Искомое расстояние d от точки М до данной прямой, равное расстоянию между точками М и Р, найдется по формуле нахождения расстояния между двумя точками
Пример. Определить условие, при котором две прямые
лежат на одной плоскости.
Решение. Пусть ={m1; n1; p1} и ={m2; n2; p2} направляющие векторы данных прямых, М1(a1; b1; c1) и М2(a2; b2; c2) - точки, принадлежащие прямым и . Вектор ={a2-a1; b2-b1; c2-c1} и направляющие векторы прямых и компланарны в том и только в том случае, когда прямые и лежат в одной плоскости. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: =0, что в координатной записи может быть представлено в следующем виде: