1.5.6. Правило дифференцирования сложной функции

Теорема. Пусть

1) задана сложная функция где x=(t) и

y=f(x),

2) функция x=(t) дифференцируема в точке t₀ , а функция y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке x₀=(t₀). Тогда сложная функция дифференцируема в точке t₀, причем

Замечание. Обычно формулу для производной сложной функции записывают в виде .

Пример 1. Найти производную функции Имеем где x=arctg t. Поэтому

Пример 2. Найти производную функции

1.5.7. Дифференциал функции

Пусть y=f(x)C¹(x), тогда y=x+(x)x (1.)

Если А, то слагаемое Аx есть линейная и однородная относительно x функция.^* При x и поэтому Аx бесконечно малая того же порядка, что и x.

т.е. второе слагаемое x при x есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x. Итак, при А первое слагаемое Аx является главной частью приращения дифференцируемой функции.

Определение. При А дифференциалом функции y=f(x) в данной толчке x , соответствующим приращению аргумента x, называют главную линейную относительно x часть приращения этой функции в точке x. Символическое обозначение дифференциала функции dy.

Итак, по определению, dy=Ax или (вытекает из теоремы 1 п.4.3.).

Если А=0, то первое слагаемое Ax равенства (1) перестает быть главной частью приращения дифференцируемой функции, ибо Ax=0, а x однако, по договоренности и в этом случае считают

dy= Ax=0.

1.5.8. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть дана кривая y=f(x). Точка М на кривой соответствует значению аргумента x, а точка Р-(x+x). МТ - касательная к кривой y=f(x) в точке М. Очевидно, что y=PN и , откуда вытекает, что величины PN и KN, вообще говоря, различны, ибо если y есть прира-

щение ординаты кривой, то dy является соответственным приращением ординаты касательной.

1.5.9. Дифференциал независимой переменной

Под дифференциалом dx независимой переменной x понимают любое, не зависящее от x, число, поэтому, по определению, дифференциалом независимой переменной x называют ее приращение x, т.е. полагают, что dx=x.

Введенное определение оправдывается следующими рассуждениями.

Рассмотрим независимую переменную x как функцию вида y=x, тогда .

Таким образом, если аргумент x функции y=f(x) является независимой переменной, то

Замечание. есть число, а - отношение неопределенных чисел dy и dx, которые изменяются пропорционально c коэффициентом пропорциональности .

1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала

В предыдущем пункте было показано, что если x есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f(x)dx. Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент x является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция Рассмотрим сложную функцию y=f[(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую переменную, то по определению дифференциала функции (1)

Аналогично этому (2)

Используя теорему о сложной функции : равенство (1) можно переписать в виде и из (2) имеем

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме , будет ли x независимой переменной или нет; разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение x, а дифференциал x как функции от t.