1.5.14. Свойства дифференцируемых функций

1.5.14.1. Возрастание (убывание) функций в точке. Локальный экстремум.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности U(c) точки с.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в точке С, если существует  - окрестность точки c(U_(c)) такая, что

.

Определение 2. Функция f(x) называется убывающей в точке С, если существует  - окрестность точки c(U_(c)) такая, что

.

Определение 3. Точка с называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x) (f(x) имеет локальный минимум в точке С), если существует такая  - окрестность точки c(U_(c)) такая, что

Определение 4. Будем говорить, что функция y=f(x) имеет в точке С локальный экстремум, если эта функция имеет в точке С либо локальный максимум, либо локальный минимум (рис.1)

Рис. 1

Функция f(x) имеет в точке с₁ локальный максимум, в точке с₂ - локальный минимум. Заметим, что f(с₁)<f(с₂).

Теорема 1. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке с и , тогда y=f(x) возрастает (убывает) в точке С.

Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке С функции y=f(x).

Пример 1. (рис.2). f(x)=x³ возрастает в точке х = 0, но

рис. 2

Теорема 2. (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции) (теорема Ферма).

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда

(рис. 3).

Доказательство. По условию теоремы существует . Так как функция y=f(x) имеет в точке С локальный экстремум, она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, по теореме 1 не может быть ни положительной ни отрицательной, т.е. .

Теорема доказана.

Рис. 3

Замечание 2. Как показано на рис. 3 касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремума горизонтальна.

Пример 2. y=x³, , но функция не имеет экстремума, т.е. необходимое условие (теорема 2) экстремума не является достаточным.

1.5.14.2. Теорема о нуле производной

Теорема (теорема Ролля).

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, а значения функции на концах сегмента одинаковы, тогда внутри сегмента найдется такая точка, в которой значение производной обращается в нуль.

.

Доказательство. f(x) C[a,b] (по второй теореме Вейерштрасса) f(x) достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (M и m соответственно). Могут представиться два случая:

1) M=m; 2) M>m. Рассмотрим оба этих случая.

1) M=mf(x)=M=m=const x  [a,b].

2) M>m. Так как f(a)=f(b), хотя бы одно из двух значений M и m достигается во внутренней точке  сегмента [a,b]. Но тогда функция f(x) имеет в точке  локальный экстремум. По необходимому условию экстремума (теорема Ферма см. п.5.1) =0. Теорема доказана.

Замечание 3. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной, то есть существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции горизонтальна (рис.1).

Рис. 1

Приведем несколько примеров, когда при нарушении хотя бы одного из условий теоремы утверждение теоремы не имеет места.

а) Функция f(x)=x-E(x) (E(x) - целая часть от x) на сегменте [0,1] не является непрерывной (рис.2). И хотя все остальные условия теоремы выполнены, однако на (0,1) не существует точки  такой, чтобы =0.

Рис. 2

б) Нарушено условие дифференцируемости на (а, b)

Рис. 3

в) Нарушено условие f(a)=f(b).

Для функции f(x)=x на [0, 1] (рис.4) нет точки (0, 1), в которой значение производной обращалось бы в 0.

Рис. 4