3.2.4 Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Скорость точки по модулю и направлению можно определить по формуле Эйлера векторным произведением:

(3.28)

где – радиус-вектор точки М, проведенной из произвольной точки оси вращения Oz, например точки О (рис. 3.10). В справедливости формулы (3.28) можно убедится определив по ней модуль скорости.

Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Рис. 3.10

(3.29)

Касательное и нормальное ускорения также можно записать в виде:

где – соответственно ортогональные единичные векторы (см. выше 3.1.2).

Рассмотрим конкретные задачи.

Задача 3.1 Ротор мотора в период пуска имеет угловое ускорение  = 2 с^–2. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М (рис. 3.11), лежащей на ободе ротора в момент t = 3 c. Диаметр ротора d = 0,2 м.

Решение

Угловую скорость ротора в момент времени t = 3 c находим, пользуясь формулой (3.25):

 = _о + t

З десь и далее учитываем, что вращение ротора равноускоренное, начальный угол поворота _о= 0 и начальная угловая скорость _о = 0, так как ротор начинает вращаться из состояния покоя. Тогда  = t = 23 = 6 с^–2. Для определения положения точки на ободе ротора вычислим также по формуле (3.24) угол поворота По формулам (3.27) определим соответственно скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М.

Рис. 3.11

Векторы в момент времени t = 3 c изображены на рисунке 3.11.

Задача 3.2 В период разгона маховика закон его вращения характеризуется . Определить скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,8 м от оси вращения в тот момент, когда касательное и нормальное ускорения точки равны.

Решение

По формулам (3.21) и (3.22) определяем угловую скорость и угловое ускорение маховика.

Касательное и нормальное ускорения соответственно равны a_ = R, a_n = ²R. По условию задачи в момент времени t = t₁ a_ = a_n. Поэтому в этот момент  = ² или откуда Подставляя t₁ в выражения для  и , находим, что в момент времени t₁

Определим скорость и полное ускорение при t = t₁

Задача 3.3 Шестерня 1 радиуса r₁ приводится во вращение рукояткой АО₁ = l. Эта шестерня сцеплена зубчатым колесом 2 радиуса r₂, которое наглухо насажено на вал диаметра d. На вал намотан нерастяжимый канат, к которому прикреплен груз В. Определить скорость и ускорение груза В, если рукоятка АО₁, вращаясь равноускоренно из состояния покоя совершает 16 оборотов за 2 с после начала движения (рис. 3.12).

Р

Рис. 3.12

ешение

Определяем угловое ускорение из формулы (3.25). По условию задачи _о = 0, _о = 0, . Отсюда

Угловую скорость рукоятки для t = 2 с определяем по формуле (3.25) при _о = 0:  = t = 162 = 32 c^–1.

Угловая скорость шестерни 1 равна угловой скорости рукоятки, так как они неизменно связаны между собой:

₁ =  = 32 с^–1

Скорость точки С, которая принадлежит к шестерне 1 и колесу 2, равна

v_C = ₁r₁ = ₂r₂ , откуда

Касательное ускорение а_^(С) точки С находится по формуле (3.27) а_^(С) = ₁r₁= ₂r₂ . Откуда Так как колесо 2 и вал жестко скреплены, имеем:

Поскольку канат нерастяжим и вместе с грузом совершает поступательное движение, можно определить