6. Геометрическая вероятность.

Геометрической вероятностью называется описание области благоприятствующей событию к общей области.

Замечания: 1) Пусть есть плоская фигура F (замкнутая область), фигура . Тогда, если А = «точка попала на фигуру f». (точка бросается случайным образом на F). 2) Пусть есть тело Т, тело (точка бросается случайным образом на T). А = «Точка попала в t». . 3) Если используется одномерное пространство (кривая, отрезок, интервал и т.п.), тогда используется длина кривой или пр.

7. Теорема сложения вероятностей для двух несовместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух событий A или B, которые являются не совместными, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A) + P(B)

Док-во: Пусть возможно N равновозможных исходов, K – число событий, благоприятствующих событию А, M – число благоприятных исходов B. т.к. А и В не совместные события, то нет таких событий, которые благоприятствуют их совместному появлению, т.е. , тогда (M+K) – число исходов, благоприятствующих событию A+B.

Следствие: т.к. события А и не совместные события, то

8. Теорема сложения вероятностей для двух совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий A или B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности из совместного появления: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Док-во: Пусть возможно N равновозможных исходов, K – число событий, благоприятствующих событию А, M – число благоприятных исходов B, L – число благоприятных исходов событию AB. Тогда (M+K-L) – число исходов, благоприятствующих событию A+B.

9. Независимые события

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не зависит от появления или не появления другого.

Несколько событий называются независимыми, если появление одного из них не зависит от появления или не появления любой комбинации остальных.

10. Условная вероятность

Условной вероятностью события В будем называть вероятность события В в предположении, что вычислено событие А.

Обозначение: P_A(B), P(A|B)

11. Теорема умножения вероятностей.

Т-ма: Вероятность появления одновременно двух совместных событий A и B равна вероятности появления одного из этих событий, не важно какого, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло. P(AB) = P(A) P_A(B) = P(BA)

Т-ма: Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равно произведению их вероятностей. Р(АВ) = Р(А)Р(В)

12. Формула полной вероятности

Пусть дана генеральная совокупность . Совокупность будет называться полной системой событий, если попарно дизъюнктны, т.е. не пересекаются и

Т-ма: Вероятность появления некоторого события А, которое возможно только в результате появления событий , образующих полную системы попарно не совместных событий, вычисляется по формуле: , тогда события называются гипотезами.

Док-во: По условию теоремы событие А может произойти, если произошло хотя бы одно из событий , т.е. , т.к. - несовместные событий, то и - не cовместны. Тогда по теореме сложения не совместных событий

(по теореме умножения вероятностей), тогда