38. Теорема Чебышева
При достаточно больших n
для последовательности случайных
независимых величин
таких что
- положительное число, справедливо
неравенство:
Док-во: Пусть
- независимые случайные величины,
рассмотрим
-
случайная величина.
,
Подставим
в неравенство Чебышёва
,
тогда
т.к. по условию
т.к. для любого h>0
сколь угодно малого n:
39. Закон больших чисел (теорема).
Пусть
- независимые одинаково распределенные
случайные величины (имеют одинаковые
характеристики, если эти характеристики
существуют). Пусть существует
,
,
тогда для любого
справедливо:
Док-во: Пусть
,
,
Подставим в неравенство Чебышёва , тогда
(**)
Замечание: Для выполнения закона больших чисел необходимым и достаточным условием является существование мат ожидания , более того существует последовательность независимых случайных величин, которые не имеют ни , ни , но при этом для них выполняется закон больших чисел.
Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины.
-
случайная величина для которой выполняется
ЗБЧ.
Рассмотрим последовательность:
.
Для этой последовательность не
гарантируется выполнение ЗБЧ для каждого
элементарного события w.
Тогда Пусть
не
сходится к а}
Если ЗБЧ выполняется при P(A)=0, то это усиленный ЗБЧ.
Теорема: (усиленный ЗБЧ)
Существование мат ожидания является
необходимым и достаточным условием
выполнения усиленного ЗБЧ для
последовательности независимых
одинаково-распределенных случайных
величин
постоянная, а в этом случае совпадает
с мат ожиданием
,
т.е. Пусть существует
- независимая случайная величина, пусть
существует
выполняется усиленный ЗБЧ при этом
в
пределе (**).
40. Центральная предельная теорема.
Пусть
- независимые одинаково распределенные
случайные величины, пусть существует
конченое
и
,
тогда для любого
,
где
- функция стандартного нормального
распределения
,
если обозначить
,
то нормальная случайная величина
Док-во: т.к. непрерывная функция, то сходимость в каждой точке последовательности функции распределения случайной величины к является слабой сходимостью.
Тогда для доказательства можно воспользоваться теоремой непрерывности.
Теорема непрерывности: Последовательность
функция распределения
слабо
сходится к некоторой
последовательность
характеристических функций
сходится к характеристической функции
равномерно
на каждом отрезке
Пусть
- характеристическая функция
=>
-
характеристическая функция
по
свойству характеристической функции
Т.О.
,
по свойству характеристической функции
существуют
и
Тогда рассмотрим
для этой функции можно построить ряд
Маклорена по степеням
до 2 числа включительно.
=>
=>
-
характеристическая функция стандартного
нормального распределения.
Покажем, что
,
где
- характеристическая функция стандартного
нормального распределения
Пусть t = x1
Замена: y = x – it
41. Теорема Ляпунова
Сумма независимых случайных величин
имеет распределение, которое с ростом
n приближается к
нормальному, если выполняются условия:
1)
существую конечные
и
2)
ни одна из случайных величин по своим
значениям не отличается от остальных
(т.е.
резко
не отличаются друг от друга).
Имеет большое практическое значение. Экспериментальным образом доказано, что уже при n>10 сумму независимых случайных величин можно рассматривать как нормально распределенную случайную величину.
Формулировка теоремы Ляпунова для дискретной случайной величины:
,
где
- значения случайной величины x
(при n независимых
испытаниях).
Если случайная величина x
имеет конечное
и
,то
распределение среднего арифметического
вычисленного по наблюдавшимся значениям
случайной величины x,
проведенных в одинаковых условиях при
приближается
к нормальному.
и
,
,
где
,
- функция Лапласа.