20. Некоторые распределения дискретных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое.

Биноминальное распределение: Пусть - число успехов в n независимых испытаниях (т. е. = k). Тогда ряд распределения имеет следующий вид:

	0	1	…	i	…	n
P	qⁿ	pqⁿ	…	C_nⁱpⁱqⁿ	…	pⁿ

Геометрическое распределение: рассмотрим схему Бернулли. Пусть - число испытаний пока не появится успех. Тогда имеет геометрическое распределение, которое задано следующим рядом:

	0	1	…	i	…	n	…
P	p	qpⁿ	…	qⁱpⁿ	…	qⁿp	…

Гипергеометрическое распределение: Пусть имеется n = n₁ + n₂ + … + n_k частиц, где n_i – число частиц i-того типа ( ). Событие А состоит в том, что встречается ровно i-того типа частиц. Тогда

21. Пуассоновское распределение, теорема Пуассона.

(закон редких событий) Распределение не отрицательной дискретной или величины, которая имеет следующий ряд распределений: - параметр Пуассона.

	0	…	i	…	n	…
P		…		…		…

по закону Пуассона распределение случайной величины тогда, когда в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность успеха некоторого испытания очень мала.

Теорема Пуассона: Пусть в схеме Бернулли n велико ( )., а вероятность успеха p мала, при этом мало произведение , тогда вероятность k успехов в n испытаниях вычисляется по формуле Пуассона:

Док-во: в схеме Бернулли Дано: p мало, - мало.

22. Некоторые распределения непрерывных случайных величин: равномерное на отрезке, показательное, нормальное, распределение Вейбулла.

Равномерное распределение на отрезке [a;b]: плотность распределения равномерно распределенной случайной величины имеет следующий вид:

Показательное (экспоненциальное) распределение для положительных случайных величин: ;

Пример: по экспоненциальному закону распределения времени распадов атомов различных элементов, при этом - среднее врем распада атома, - период полураспада.

Характеристическое свойство экспоненциального распределения случайных величин: отсутствие последействия, т.е. вероятность того, что при условии что - это время распада атома, который успел прожить время х₁ совпадает с безусловной вероятностью того, что атом распадается за время x₂.

Нормальное распределение: Будем говорить, что случайная величина распределена по нормальному (Гауссову) закону, если она имеет следующую плотность распределения: