34. Корреляция, свойства корреляции.
Пусть
- двумерная случайная величина, тогда
коэффициентом корреляции случайных
величин
и
называется
Свойство коэффициента корреляции:
1.
2. Пусть
-
независимые случайные величины, тогда
,
т.к.
3.
4. Если
линейно зависимы, т.е
Замечание: если
(т.е. a>0), то говорят
что
и
положительно коррелируемы.
если
(т.е. a<0), то говорят
что
и
отрицательно коррелируемы.
Это верно и для r>0,
r<0 соответственно,
только зависимость
не линейная.
если , то и не коррелируемы (независимы).
5. Если
и
и
- случайные величины, тогда
при чем знак «+» будет когда a1a2>0 (т.е. имеют одинаковый знак) и «-» наоборот.
35. Регрессия. Линейная регрессия.
Пусть
-
двумерная случайная величина 9задана
на одном вероятностном пространстве),
пусть
и
дискретные случайные величины, т.е.
имеет только значения x1,x2,…,xn,
имеет только значения y1,y2,…,yn.
Обозначим:
Тогда значением условного математического
ожидания случайной величины
при условии
называется величина:
Математическое ожидание случайной
величины
относительно
будем рассматривать как функцию от
случайной величины
,
т.е.
,
где
Свойства условного мат ожидания:
1. Если
- константа, то
2.
3. Если
-
независимые случайные величины при
условии
,
то
4.
5.
6. Если
-
независимые, то
7.
,
где
и
-
произвольные функции.
Пусть
и
-
непрерывные случайные величины, тогда
условным мат ожиданием случайной
величины
при условии
будем называть
,
где
- условная плотность распределения.
Функция называется функцией регрессии случайной величины относительно случайной величины .
График функции регрессии называется линией регрессии. Линия регрессии показывает зависимость «в среднем» случайной величины от случайной величины .
,
a,b
– параметры регрессии, тогда
Пусть y – некоторое фиксированное значение, тогда на изменение случайной величины будут влиять остаточные факторы, которые не влияют на случайную величину . Характеристикой этого изменения является дисперсия. Если брать различные значения y, то на разброс будут влиять остаточные факторы, которые не влияют на y. Измерителем этого разброса будет мат ожидание от дисперсии.
при этом необходимо, чтобы
тогда
,
где r – коэффициент
корреляции,
- среднеквадратичное отклонение
,
-
.
,
где
,
36. Характеристическая функция, её свойства.
Пусть
- некоторая случайная величина, заданная
на вероятностном пространстве
,
тогда характеристической функцией
случайной величины
будем называть функцию
,
т.е.
- комплексная случайная величина, т.е.
(элементарное событие) случайная величина
принимает комплексное значение.
Свойства характеристической функции:
1.
2.
- непрерывная случайная величина.
3. Пусть
,
тогда
4. Пусть
,
если
- независимые
5. Если существует
,
при
- начальный момент k-того
порядка, то
если n – четное, то верно и обратное
Характеристическая функция однозначно
определяет функцию распределения
случайной величины
,
т.е. выполняется формула обращения:
,
x1 и x2
– точки непрерывности функции
распределения вероятностей
Если считать, что в точках разрыва x
,
то формула верна и для точек разрыва x.
Формула Эйлера:
Пусть случайная величина
- дискретная со значениями x1,x2,…,
которые она принимает с вероятностями
p1,p2,….
Тогда характеристическая функция
Пусть
- непрерывная случайная величина с
плотностью распределения
,
тогда
37. Неравенства Чебышева.
Лемма1: Пусть
- некоторая случайная величина, пусть
существует
,
тогда для любого
справедливо:
(1)
(2)
Док-во: Не умоляя общности докажем лемму для непрерывной случайной величины.
Пусть
-
непрерывная случайная величина.
т.к. плотность распределения
при
и
при
Итак,
Неравенство (2) можно получить, подставив
в неравенство (1) случайную величину
Замечание: Неравенство (2) Чебышёва
показывает, что при достаточно малых
значениях
случайная
величина
приближается к
Лемма2: Пусть - некоторая случайная величина и существует конечные и , тогда для любого справедливо:
(3)
Док-во: Не умоляя общности докажем лемму для дискретной случайной величины.
Пусть
- дискретная случайная величина. т.к.
события
и
противоположные, то
(*)
(**),
- значение случайной величины
,
- вероятность того, что
Пусть первые k слагаемых
(**) такие что
,
если это не так, то перегруппируем.
(***)
подставим (***) в (*), тогда