42. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

- частный случай ЦПТ.

Если в схеме Бернулли некоторое событие А появляется с вероятностью , но не близко к 0 или к 1, то вероятность P_n(k) – появление события А ровно k раз при n независимых испытаниях: , где q=1-p, - функция плотность стандартного нормального распределения,

43. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

- частный случай ЦПТ.

Если в схеме Бернулли вероятность успеха , но не близко к 0 или к 1, то для вероятности P_n(k₁,k₂) того, что успех появится от k₁ до k₂ раз включительно, выполняется по формуле (при ) , где , , - функция Лапласа.

44. Теорема Берри-Эссеена.

(о скорости сходимости к нормальному распределению в ЦПТ)

Пусть выполняется условие ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин, т.е. пусть - независимые, одинаково распределенные случайные величины, пусть существует конечные и , кроме того существует , тогда справедлива оценка:

,

,

,

- функция нормального распределения,

- константа.

45. Функция от многомерной случайной величины (на примере двумерных дискретных и непрерывных случайных величин).

Пусть - n-мерная случайная величина, пусть имеется измеримая функция от аргументов

Тогда величина называется n-мерной функцией от случайных величин .

Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью

имеет функцию распределения

- область.

Пусть - независимая случайная величина

- случайная величина, т.к. существует

т.к. - независимые, то

46. Свертка и её свойства.

- формула свертки (композиции)

формула свёртки верна и для n-мерного случая

, т.е.

Основные свойства свёртки:

1. коммутативность:

2. ассоциативность:

Формула верна не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин.

47. Выборка, вариационный ряд (дискретный и интервальный), ранжирование.

Совокупностью всех мыслимых объектов данного вида для которых рассматриваются конкретные значения некоторой случайной величины или результаты мыслимых наблюдений за значениями некоторой случайной величины, получаемых при неизменным условиях, называются генеральной совокупностью.

Если берется наблюдение над некоторой частью объекта, то подученная совокупность результатов наблюдения, называется выборкой.

Для того, чтобы числовые характеристики и распределения выборки и генеральной совокупности резко не отличались друг от друга необходимо, чтобы выборка была релевантной (презентативной).

Выборки можно получить двумя способами в результате которых получим случайную бесповторную выборку или случайную выборку с повтором.

Операция, заключающаяся в том, что наблюдаемые значения случайной величины, составляющие выборку, располагаются в порядке не убывания, называется ранжированием.

Полученный ряд называется ранжированным (вариационным).

Значение случайной величины соответствующее отдельной группе одинаковых значений ранжированного ряда называется варрантом. А изменение этого значение – варьирование.

Численность элементов каждой группы называется частота n_i варианта x­_i.

отношение частоты варианта к общему числу элементов выборки называется частость (доля). Обозначение: , где n – объем выборки.

Дискретным вариационным рядом называется значения вариантов ранжированного ряда с соответствующими частотами или частостями.

Замечание: Если различных значений дискретной случайной величины очень много, то дискретный вариационный ряд использовать не рекомендуется, т.к. он не будет хорошо отражать характеристики самой генеральной совокупности. Для непрерывной случайной величины дискретный вариационный ряд также редко применим, т.к. её значения обычно мало отличаются друг от друга, т.е. редко находится 2 одинаковых значения. В этих случаях используют интервальный вариационный ряд.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования и частоты (или частостей) попадания значений случайной величины в каждой из этих интервалов.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда:

1. Необходимо найти максимальное и минимальное значение выборки x_наиб, x_наим

2. Рассчитать размах выборки ­R = x_наиб - x_наим

3. Найдем длину интервала (шаг) h = R/m, m рекомендуется брать от 7 до 11

Формула Стеджеса:

4. Строим упорядоченную последовательность интервалов:

в качестве t₁ рекомендуется брать x_наим – h/2

Иногда интервальный вариационный ряд заменяют на дискретный.