- •Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
- •§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
- •Правила диференціювання функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Властивості диференціала
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 13
- •§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.4. Застосування похідної до дослідження функцій
- •Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,
- •Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору,
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 14
- •§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Завдання для самостійного розв’язування
Дослідити функцію f і побудувати її графік:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
В ідповіді:
D(f)=R; – інтервал неперервності, точок розриву функція не має; асимптот не має; (0;0) і (3;0) – точки перетину графіка з осями координат; інтервали спадання: (–;0) і (2;+), інтервал зростання: (0;2), xmin=0, ymin=0, xmax=2, ymax=4; (–;1) – інтервал опуклості вниз, (1;+) – інтервал опуклості вгору, хперег.=1, yперег.=2; , .
2 ) D(f)=R\{2; 4}; (–;2), (2;4), (4;+) – інтервали неперервності, х=2 і х=4 – точки розриву; х=2 і х=4 – вертикальні асимптоти, y=0 – горизонтальна асимптота; – точка перетину графіка з віссю ординат; інтервали спадання: (3;4) і (4;+), інтервали зростання: (–;2) і (2;3), xmax=3, ymax=–1; (–;2) і (4;+) – інтервали опуклості вниз, (2;4) – інтервал опуклості вгору, точок перегину немає; , , , , , .
3) D(f)=R\{1}; (–;1) і (1;+) – інтервали неперервності, х=1 – точка розриву; х=1 – вертикальна асимптоти; (0;0) – точка перетину графіка з осями координат; інтервали спадання: (–;1) і (1;1,5), інтервал зростання: (1,5;+), xmin=1,5, ymin=6,75; (–;0) і (1;+)– інтервали опуклості вниз, (0;1) – інтервал опуклості вгору, хперег.=0, yперег.=0; , , , .
4 ) D(f)=R; – інтервал неперервності, точок розриву функція не має; y=0 – горизонтальна асимптота; (0;–2) і (1;0) – точки перетину графіка з осями координат; інтервали спадання: (–;–1) і (3;+), інтервал зростання: (–1;3), xmin=–1, ymin=–3, xmax=3, ymax=1; , .
5 ) D(f)=R\{0}; (–;0) і (0;+) – інтервали неперервності, х=0 – точка розриву; х=0 – вертикальна асимптоти; графік не перетинає осі координат; інтервали спадання: (–;0) і (0;0,5), інтервал зростання: (0,5;+), xmin=0,5, ymin= ; (–;0) і (0;+) – інтервали опуклості вниз, точок перегину немає; , , , .
6 ) D(f)=(0;+); (0;+) – інтервал неперервності, точок розриву функція не має; асимптот графік не має; (1;0) – точка перетину графіка з віссю абсцис; інтервал спадання: , інтервал зростання: , xmin= , ymin= ; (0;+) – інтервали опуклості вниз, точок перегину немає; , .