Приклади

Дослідити функцію f і побудувати її графік:

а) ; б) .

Розв’язання. а) 1. Знайдемо область визначення функції f.

D(f): х²–2х+10  (х–1)²0  х–10  х1.

Отже, D(f)=(–;1) (1;+).

2. Оскільки функція – елементарна, то вона неперервна на своїй області визначення. Тому (–;1) і (1;+) – інтервали неперервності функції f. У точці х=1 функція f не визначена, тому не є неперервною в цій точці. Однак вона визначена в точках, як завгодно близьких до точки x=1. Тому х=1 – точка розриву функції f.

3. Оскільки = = , то пряма х=1 є вертикальною асимптотою графіка функції f.

Знайдемо невертикальні асимптоти графіка функції f.

k= = = =0;

= = = =

= = = = .

Таким чином, k=0 і b=0. Тому y=kx+b=0x+0=0. Отже, y=0 є горизонтальною асимптотою графіка функції f. На площині XOY ця пряма є віссю абсцис.

4. Знайдемо точки перетину графіка функції f з осями координат.

Для того, щоб знайти точки перетину графіка функції y=f(x) з віссю абсцис, потрібно розв’язати рівняння f(x)=0.

f(x)=0     х=0.

Отже, (0;0) – точка перетину графіка функції f з віссю абсцис.

Для того, що знайти точки перетину графіка функції f з віссю ординат, потрібно підставити х=0 у функцію y=f(x).

х=0  y= .

Отже, (0;0) – точка перетину графіка функції f з віссю ординат.

На площині XOY точка (0;0) є точкою перетину осей координат.

5. Знайдемо інтервали зростання і спадання, точки екстремуму і екстремуму функції f. Для цього використаємо відповідний алгоритм.

а) D(f)=(–;1) (1;+). Зобразимо область визначення функції f на числовій прямій (рис.4.22).

б) Знайдемо :

f (x)= = =

= = =

= = = = .

Отже, f (x)= .

в) Знайдемо критичні точки функції f.

=0     х=–1.

Отже, =0 у точці х=–1. Оскільки ця точка належить області визначення функції f, то вона є критичною точкою цієї функції.

У точці х=1 =. Але ця точка не належить D(f), а тому не є критичною точкою функції f. Отже, функція f має одну критичну точку: х=–1. Позначимо цю точку на числовій прямій (рис.4.23). У результаті утворяться інтервали (–;–1), (–1;1), (1;+), на кожному з яких зберігає сталий знак.

г) Визначимо знак на кожному з утворених інтервалів:

= ;

= ; = .

Таким чином, <0 на інтервалах (–;–1), (1;+). Тому (–;–1), (1;+) – інтервали спадання функції f. >0 на інтервалі (–1;1). Тому (–1;1) – інтервал зростання функції f.

д) Знайдемо точки екстремуму функції f. При переході через критичну точку х=–1 похідна змінює знак з “–” на “+” Тому ця точка є точкою мінімуму функції f, тобто x_min=–1. Точка х=1 не є критичною точкою функції f. Тому точка х=1 не є точкою екстремуму функції f, хоча при переході через цю точку змінює знак. Точок максимуму функції f не має.

е) Знайдемо екстремуми функції f. Для цього потрібно обчислити значення функції f (x) у знайдених точках екстремуму. Оскільки така точка лише одна (x_min=–1), то і екстремум буде один: y_min= f(x_min)= f(–1)= .

Позначимо точку (–1;–2) на площині XOY.

6. Знайдемо інтервали опуклості вгору, опуклості вниз і точки перегину графіка функції f. Для цього використаємо відповідний алгоритм.

а) D(f)=(–;1) (1;+). Зобразимо область визначення функції f на числовій прямій (рис.4.25).

б) Знайдемо :

= = = =

= = =

= = =

= = = .

Отже, = .

в) Знайдемо критичні точки другого роду функції f.

=0     х=–2.

Отже, =0 у точці х=–2. Оскільки ця точка належить області визначення функції f, то вона є критичною точкою другого роду цієї функції.

У точці х=1 =. Але ця точка не належить D(f), а тому не є критичною точкою другого роду функції f. Отже, функція f має одну критичну точку другого роду: х=–2. Позначимо цю точку на числовій прямій (рис.4.26). У результаті утворяться інтервали (–;–2), (–2;1), (1;+), на кожному з яких зберігає сталий знак.

г) Визначимо знак на кожному з утворених інтервалів.

= ;

= ; = .

Таким чином, на інтервалі (–;–2). Тому (–;–2) – інтервал опуклості вгору графіка функції f. на інтервалах (–2;1) і (1;+). Тому (–2;1), (1;+) – інтервали опуклості вниз графіка функції f.

д) Знайдемо точки перегину графіка функції f. Оскільки при переході через критичну точку другого роду х=–2 змінює знак, то ця точка є точкою перегину. Отже, х_перег. =–2. Обчислимо значення функції f у цій точці:

y_перег.= f(х_перег)= f(–2)= –1,78.

Позначимо точку на площині XOY.

7. Дослідимо поводження функції f у межових точках області визначення, тобто у точках – і +:

= =0, = =0 (ці границі були знайдені при знаходженні невертикальних асимптот графіка функції).

Дослідимо поводження функції f в околі точки розриву х=1:

= ;

=

(якщо х1–0 або х1+0, то 8х8 (8 – додатне число), і ).

8. Знайдемо деякі допоміжні точки графіка функції f:

х=–5  y_.= f(–5)= ;

х=–3  y_.= f(–3)= ; х=2  y_.= f(2)= ;

х=3  y_.= f(3)= ; х=9  y_.= f(9)= .

Позначимо допоміжні точки , (–3;–1,5), (2;16), (3;6), (9;1,125) на площині XOY.

9. Використовуючи проведене дослідження, побудуємо графік функції (рис.4.28).

б) 1. Знайдемо область визначення функції .

D(f): ln x0    .

Отже, D(f)= .

2. Оскільки функція – елементарна (як частка двох основних елементарних функцій y=x і y=lnx), то вона неперервна на своїй області визначення. Тому (0;1) і (1;+) – інтервали неперервності функції f. У точці х=1 функція f не визначена, тому не є неперервною в цій точці. Однак вона визначена в точках, як завгодно близьких до точки x=1. Тому х=1 – точка розриву функції f.

3. Оскільки = , то пряма х=1 є вертикальною асимптотою графіка функції f.

Знайдемо невертикальні асимптоти графіка функції f.

k= = (бо lnх+, коли х+);

= = =

= (при знаходженні b використано правило Лопіталя).

Отже, похилих і горизонтальних асимптот графік функції f не має.

4. Знайдемо точки перетину графіка функції f з осями координат.

З віссю Ох:

f(x)=0     х.

Отже, вісь Ох графік функції f не перетинає.

Оскільки функція f не визначена в точці х=0, то її графік не перетинає вісь Oy.

5. Знайдемо інтервали зростання і спадання, точки екстремуму і екстремуму функції f.

а) D(f)= . Зобразимо область визначення функції f на числовій прямій (рис.4.29).

б) Знайдемо :

= .

в) Знайдемо критичні точки функції f.

=0                   

                 x=e.

Оскільки точка x=e належить області визначення функції f, то вона є критичною точкою цієї функції.

У точці х=1 =. Але ця точка не належить D(f), а тому не є критичною точкою функції f.

Позначимо критичну точку x=e на числовій прямій (рис.4.30).

г) Визначимо знак на кожному з утворених інтервалів:

, = ;

, = (бо ln 2<1);

, = .

Інтервали спадання функції f: (0;1), (1;e);

інтервал зростання функції f: (e;+).

д) Оскільки при переході через критичну точку х=e похідна змінює знак з “–” на “+”, то ця точка є точкою мінімуму функції f, тобто x_min=e. Точок максимуму функція f не має.

е) y_min= f(x_min)= f(e)= .

Позначимо точку (e; e) на площині XOY.

6. Знайдемо інтервали опуклості вгору, опуклості вниз і точки перегину графіка функції f.

а) D(f)= . Зобразимо область визначення функції f на числовій прямій (рис.4.32).

б) Знайдемо :

=

.

в) Знайдемо критичні точки другого роду функції f.

=0             

    .

Оскільки точка належить області визначення функції f, то вона є критичною точкою другого роду цієї функції.

У точках х=0 і х=1 маємо: =, =. Але ці точки не належить D(f), а тому не є критичною точкою другого роду функції f. Отже, функція f має одну критичну точку другого роду: . Позначимо цю точку на числовій прямій (рис.4.33).

г) Визначимо знак на кожному з утворених інтервалів.

, = ;

, = ;

, = .

Отже, – інтервал опуклості вниз, а (0;1) і – інтервали опуклості вгору графіка функції f.

д) Оскільки при переході через критичну точку другого роду похідна другого порядку змінює знак, то ця точка є точкою перегину. Отже, . Тоді y_перег.= f(х_перег)= f(e)= .

Позначимо точку на площині XOY.

7. Дослідимо поводження функції f у межових точках області визначення, тобто у точках 0 і +:

=

(якщо х0+0, то lnx–, а );

=

(ця границі була знайдена при знаходженні невертикальних асимптот графіка функції).

Дослідимо поводження функції f в околі точки розриву х=1:

=

(якщо х1–0, то чисельник дробу прямує до 1, тобто до додатного числа, а знаменник lnx0, причому lnx<0);

=

(якщо х1+0, то чисельник дробу прямує до 1, тобто до додатного числа, а знаменник lnx0, причому lnx>0).

8. Використовуючи проведене дослідження, побудуємо графік функції (рис.4.35).