Завдання для самостійного розв’язування

1. Використовуючи означення похідної функції f у точці х₀, знайти похідні функцій:

а) ; б) .

2. Знайти похідну функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) .

3. Знайти значення похідної функції у точці х₀:

а) , х₀= ; б) , х₀= .

4. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х₀:

а) , х₀=2; б) , х₀= ;

5. Знайти рівняння дотичних, проведених до графіка функції у точках його перетину з прямою y=1.

7. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом . Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу (шлях s вимірюється в метрах).

10. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників впродовж дня, описується функцією , де t – час, виражений у годинах. Визначити продуктивність праці бригади через 2 години після початку роботи.

Відповіді:

1. а) ; б) .

2. 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  ; 7)  ; 8)  ; ; 9)  ;

3. а) –2; в) 6.

4. а)  ; б) .

5. , .

6. v=35 м/с, а=22 м/с².

7. 63 од/год.

§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х₀. Похідна функції f у точці х₀ визначається рівністю

. (4.1)

Оскільки – це , то відрізняється від на деяку нескінченно малу величину , яка прямує до нуля, коли . Тому рівність (4.1) можна записати у вигляді

= + , (4.2)

де , коли .

З (4.2) маємо

. (4.3)

Обидва доданки у рівності (4.3) є нескінченно малими величинами при .

Якщо функція y=f(x) диференційовна у точці х₀, то добуток називають диференціалом функції f у точці х₀ і позначають df(х₀).

Отже,

df(х₀)= . (4.4)

Тому рівність (4.3) можна записати так:

. (4.5)

Якщо f(x)=x, то . Отже, . Враховуючи це, рівність (4.4) можна записати у вигляді

df(х₀)= . (4.6)

З рівності (4.5) випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала на нескінченну малу величину при . Тому

або або

, коли . (4.7)

За допомогою формули (4.7) можна обчислювати наближені значення функції у точках, близьких х₀.

Використовуючи формулу (4.7) можна довести, що

. (4.8)

Зокрема, якщо , то

. (4.9)

Властивості диференціала

1. .

2. .

3. .

4. Якщо z=f(х), х=g(t), тобто , то . Отже, форма диференціала не залежить від того, чи є аргумент x незалежною змінною, чи функцією іншого аргументу. Таку властивість називають інваріантністю форми диференціала.

Нехай у точці х₀ існує . Якщо у точці х₀ також існує похідна функції , тобто існує , то її називають другою похідною або похідною другого порядку функції f у точці х₀ і позначають або . Аналогічно означають похідні третього, четвертого і т.д. порядків.

Другим диференціалом або диференціалом другого порядку в точці х₀ функції y=f(x), двічі диференційовної в цій точці, називають диференціал від диференціала першого порядку і позначають , тобто

= .

Справедлива рівність = .

Аналогічно для функції y=f(x), n разів диференційовної в точці х₀, вводять поняття диференціала n-го порядку: = . При цьому є справедливою рівність

= . (4.10)