- •Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
- •§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
- •Правила диференціювання функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Властивості диференціала
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 13
- •§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.4. Застосування похідної до дослідження функцій
- •Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,
- •Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору,
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 14
- •§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Приклади
Знайти диференціал функції f:
а) ; б) , в) .
Розв’язання. Для знаходження диференціала функції використаємо формулу df(х)= .
а) ;
б) ;
в) .
2. Обчислити наближено:
а) ; б) ; в) ; г) .
Розв’язання. а) Для знаходження наближеного значення виразу використаємо формулу (4.8):
= .
б) Використаємо формулу (4.9):
= = =
=5, 0012.
в) Використовуючи формулу (4.7) для наближених обчислень, одержимо:
.
Покладемо . Тоді або в радіанах .
Отже,
= = = .
Будемо обчислювати з точністю до четвертого десяткового знаку. Оскільки , , то
.
г) За формулою (4.7) маємо:
.
Тоді
.
3. Знайти похідну другого порядку функції f:
а) ; б) ; в) .
Розв’язання. Знайдемо послідовно першу, а потім другу похідну:
а) ; .
б) ;
.
в) ;
=
= = .
4. Знайти похідну n-го порядку функції .
Розв’язання. Послідовно знаходимо:
;
;
;
;
.
Аналізуючи знайдені похідні, можна висунути припущення про те, що
.
Це припущення можна довести, використовуючи метод математичної індукції.
5. Для функції знайти .
Розв’язання. Послідовно знаходимо:
;
;
;
.
Тоді за формулою (4.10) маємо:
= .
Завдання для самостійного розв’язування
8. Знайти диференціал функції f:
а) ; б) ; в) ;
9. Не користуючись калькулятором, обчислити наближено:
а) ; б) ; в) ; г) .
10. Для заданої функції знайти похідну вказаного порядку:
а) ; б) ; в) ;
Відповіді:
8. а) ; б) ; в) .
9. а) 1,2; б) 2,0004; в) 0,5151; г) –0,04.
10. а) ; б) ; в) ;
Заняття 13
§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b], диференційовна на інтервалі (a;b), причому f(а)=f(b), то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що (теорема Ролля).
Г еометричний зміст теореми Ролля. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої y=f(x) існує принаймні одна, паралельна осі Ох (рис.4.2).
Якщо функції y=f(x) і y=(x) неперервні на відрізку [a;b] і диференційовні на інтервалі (a;b), причому , то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що
(теорема Коші).
Якщо в умові теореми Коші розглянути функцію (x)=х, то буде справедливе наступне твердження.
Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і диференційовна на інтервалі (a;b), то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що
(теорема Лагранжа).
Геометричний зміст теореми Лагранжа. Якщо функція y=f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої y=f(x) знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді АВ, де , (рис.4.3). І дійсно,
, .
Для розкриття невизначеностей вигляду і використовують правило Лопіталя. Нехай функції f і g диференційовні в деякому околі точки х0 (скінченої або нескінченно віддаленої), крім, можливо, безпосередньо точки х0. Якщо f і g при хх0 є одночасно нескінченно малими або нескінченно великими , причому існує границя , то існує також границя і має місце рівність
= . (4.11)
Якщо не існує, то правило Лопіталя застосовувати не можна, хоча шукана границя може існувати.
Правило Лопіталя можна застосовувати декілька разів.
Крім розглянутих невизначеностей, зустрічаються ще такі:
0, +–(+), 00, 0, 1.
Кожну з цих невизначеностей можна звести до невизначеності або за допомогою таких перетворень:
0= або 0= ,
+–(+)= ;
00= ; 0= ; 1= .