- •Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
- •§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
- •Правила диференціювання функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Властивості диференціала
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 13
- •§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.4. Застосування похідної до дослідження функцій
- •Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,
- •Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору,
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 14
- •§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Приклади
Використовуючи означення похідної функції f у точці, знайти похідні функцій:
а) ; б) .
Розв’язання. а) Нехай х – довільна фіксована точка з D(f)=R.
1. Надамо х приросту х і знайдемо відповідний приріст функції f(x):
f(x)=f(x+х)–f(x)=sin(х+х)–sin x= .
При перетворенні різниці синусів у добуток тригонометричних функцій використано формулу .
2. = .
3. Знайдемо :
= =
= .
При знаходженні використано першу чудову границю: .
Оскільки х – довільна точка, то = для всіх хR.
Отже, .
б) Нехай х – довільна фіксована точка з D(f)=R.
1. Надамо х приросту х і знайдемо відповідний приріст функції f(x):
f(x)=f(x+х)–f(x)= = .
2. = .
3. Знайдемо :
= .
При знаходженні використано важливу границю: .
Внаслідок довільності аргумента х, маємо: = для всіх хR.
Отже, .
Довести, що у точці х0=0 не існує похідна функції .
Розв’язання. Знайдемо ліву і праву похідні функції у точці х0=0:
= = =
= = = ;
= = = .
Оскільки ліва і права похідні функції у точці х0=0 не дорівнюють одна одній, то в цій точці не існує похідна функції f.
3. Знайти похідні функцій:
а) y=sin x+x8–2; б) + ; в) y= x5lnx; г) y= ;
д) y=ln(cos x); е) y=arctg x4; є) y= ; ж) , x>0.
Розв’язання. а) Спочатку використаємо правило 1, а потім формули 5, 2, 1 із таблиці похідних:
= – =cos x+8x7–0= =cos x+8x7.
б) Спочатку використаємо правило 1, а потім правило 2.1 та формули 7, 2.1, 2.3, 1 із таблиці похідних:
= =
= = = .
в) Спочатку використаємо правило 2, а потім формули 2, 4.1 із таблиці похідних:
= =5x4lnx+x5 =5x4lnx+x4= .
г) Використаємо правило 3, а потім формули 10, 2 із таблиці похідних:
= =
= = .
д) Функція y=ln(cos x) є складеною. Її можна записати у вигляді y=ln u, де u=cos x. Для знаходження похідної функції y=ln(cos x) спочатку скористаємося правилом 4: , де u=g(x), а потім формулами 4.1, 6 із таблиці похідних. Отже,
.
е) Функція y=arctg x4 – складена; u=x4 – внутрішня функція, y=arctg u – зовнішня функція. Для знаходження похідної функції y=arctg x4 використаємо правило 4 і формули 11, 2 з таблиці похідних:
=
= .
При знаходженні похідної складеної функції проміжні етапи, що пов’язані із виділенням внутрішньої і зовнішньої функцій, із знаходженням похідної зовнішньої функції, як правило, не записують у розв’язанні. У цьому разі розв’язання цього завдання буде таким:
= .
є) Для знаходження похідної функції y= спочатку використаємо правило 2, потім правило 4 (для знаходження похідної складеної функції ) і формули 7, 2.3 з таблиці похідних:
= =
= = .
ж) Функції (x>0) є степенево-показниковою. Тому за правилом 6 маємо:
, x>0.
4. Знайти значення похідної функції у точці х0=0,6.
Розв’язання. Спочатку знайдемо похідну функції f. При знаходженні похідної функції врахуємо, що ця функція є складеною.
Отже,
= =
= .
Тоді .
5. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х0=–2.
Розв’язання. Використаємо рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0: .
Щоб записати це рівняння знайдемо і :
;
;
.
Тоді
= = .
Отже, – шукане рівняння дотичної.
6. Знайти рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна до прямої .
Розв’язання. Виходячи з геометричного змісту похідної, кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції , дорівнює . Оскільки шукана дотична є паралельною до прямої , то кутові коефіцієнти цих прямих є однаковими. Враховуючи, що кутовий коефіцієнт k прямої дорівнює –2, маємо:
х=1.
Отже, якщо до графіка функції f у точці з абсцисою х0=1 провести дотичну, то вона буде паралельною до прямої . Знайдемо рівняння цієї дотичної.
;
;
= .
Отже, – шукане рівняння дотичної.
7. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом .
а) Знайти швидкість і прискорення точки у момент часу (шлях s вимірюється в метрах).
б) Через скільки секунд після початку руху точка зупиниться?
Розв’язання. а) Враховуючи механічний зміст похідної, знайдемо за яким законом змінюється швидкість і прискорення точки:
;
.
Тоді швидкість і прискорення точки у момент часу є такими:
м/с; м/с2.
Від’ємне значення прискорення вказує на сповільнений рух точки.
б) Якщо точка зупинилася, то її швидкість дорівнює нулю. Тому щоб знайти момент часу, коли точка зупиниться, потрібно розв’язати рівняння :
За змістом задачі від’ємне значення t не підходить. Отже, через 5 с після початку руху точка зупиниться.
Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією (одиниць), , де t – робочий час у годинах. Визначити продуктивність праці через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.
Розв’язання. Враховуючи економічний зміст похідної, знайдемо закон, за яким змінюється продуктивність праці бригади робітників:
= .
У задані моменти часу t1=1 год і t2=8–1=7 год відповідно маємо таку продуктивність праці бригади робітників:
(одиниць/год);
(одиниць/год).
Як бачимо, наприкінці роботи продуктивність праці бригади робітників зменшується.