- •Часть . Случайные события. Вероятность.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Часть . Случайные величины
- •.1. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •.3. Случайные величины с непрерывным распределением
- •.4. Числовые характеристики случайных величин
- •.5. Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Решение.
- •Решение.
- •Задача .4. Дана плотность распределения случайной величины :
- •.2. Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •.3. Числовые характеристики группированной выборки
- •.4. Доверительные интервалы
- •.5. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Библиографический список
- •Содержание
.5. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона
Одной из основных задач математической статистики является проверка по выборке статистической гипотезы предположения о распределении вероятностей генеральной совокупности. Выделенную гипотезу называют основной, гипотезу , противоречащую основной, называют конкурирующей (альтернативной).
В итоге проверки могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода отвергнута правильная гипотеза . Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается .
Ошибка второго рода принята неправильная гипотеза . Вероятность ошибки второго рода обозначается . Число ( ) называется мощностью критерия.
Для проверки статистической гипотезы выбирают статистический критерий (или просто критерий), т.е. правило проверки. Это функция элементов выборки, т.е. случайная величина. По критерию определяют критическую область , вероятность попадания в которую при условии истинности основной гипотезы мала: ,где уровень значимости. Это число стандартизируется мировой практикой.
Обычно
Известны несколько критериев проверки Наиболее распространенным является критерий Пирсона (критерий ):
. ( .9)
Здесь число степеней свободы, т.е. , число интервалов выборки, число независимых соотношений, используемых в критерии, теоретическая вероятность попадания в ый интервал.
Схема проверки гипотезы такова:
1. Выбираются критерий проверки и уровень значимости .
2. По выборке подсчитывается значение критерия .
3. По уровню значимости находят критическую область .
4. Если , то делают вывод: выборка не согласуется с гипотезой . Ведь реализовалось событие, происходящее с малой вероятностью .
Если же , то говорят: выборка согласуется с гипотезой .
.6. Примеры расчета
Задача .1. Измеренные с точностью до сантиметра отклонения длины детали от стандарта составили выборку объема 10
-1, 0, 1, -1,2, 3, 2, 1, 2, -1.
Составить вариационный и статистический ряд, построить полигон относительных частот, найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
Решение.
Расположив варианты в порядке возрастания, получим вариационный ряд
-1, -1, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3.
Статистический ряд имеет вид
Таблица 7
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
или |
|
|
|
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
Полигон относительных частот представлен на рис. 11 (см.п. п. .1.).
Рис. 11
Выборочное среднее и дисперсию найдем по формулам ( .1) и ( .2):
Среднее квадратичное отклонение
Ответ: таблица 7; рис. 11;
Задача .2. Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением : если выборочная средняя 20, объем выборки , доверительная вероятность 0,95.