Решение.

Пусть – событие, состоящее в том, что идущий первым получит выученный билет, – идущий вторым получит выученный билет. По классической схеме вероятность события определяется как .

Для студента, идущего вторым, возможны ситуации: – идущий первым взял выученный билет, невыученный билет соответственно. Вероятности этих событий определяем по классической схеме: .

Условные вероятности также определяем по классической схеме:

.

По формуле полной вероятности (.14) для вероятности события получаем

Ответ: вероятности получить выученный вопрос одинаковы для обоих студентов и равны 2/3.

Задача .8. Производительность первого конвейера в 5 раз больше, чем второго. Первый конвейер допускает 20% брака, второй 5% брака. Детали с обоих конвейеров поступают на склад, где перемешиваются.

а) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет стандартна (событие )?

б) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет не стандартна (событие )?

в) Случайно выбранная на складе деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена на первом конвейере, на втором конвейере?

Решение.

Введем следующие события:  деталь изготовлена на первом конвейере,  на втором. Очевидно, что эти события образуют полную группу событий. Вероятности и , используем формулу полной вероятности (.14)

где , тогда

.

Так как событие противоположно событию , его вероятность

.

Для вычисления вероятностей событий из пункта в) воспользуемся формулами Байеса (1.15)

, причем

Ответ:

Задача .9. На клумбу посеяно семян цветов одного сорта со всхожестью . Полагая, что  количество взошедших семян из посеянных, найти вероятности событий: ; ; ; ; ; .

а) , , , , ;

б) , , , , .

Решение.

Пусть событие состоит в том, что одно семечко взошло.

а) Его вероятность , тогда . Имеем схему независимых испытаний Бернулли с параметрами , Согласно формуле (1.16)

;

;

.

б) Имеем схему независимых испытаний Бернулли с параметрами , , Используем предельные теоремы Муавра-Лапласа.

По формуле (1.19)

Используем формулу (1.20)

;

Ответ: а)

б)

Задача .10. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Принята для реализации партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей и его вероятность.

Решение.

Имеем схему Бернулли с параметрами:

– событие, что деталь стандартна. Наивероятнейшее число стандартных деталей находится из двойного неравенства (15):

.

Согласно формуле ( .13) вероятность события

.

Используем локальную формулу Муавра – Лапласа ( .16)

По таблице локальной функции Лапласа (приложение 1) находим

0,3989

Следовательно, .

Ответ: 0,742.

Задача .11. Со склада в магазин отправлено 1000 изделий. Вероятность того, что изделие повреждается в пути, равна 0,002. Найти вероятности событий

1) повреждено в пути два изделия;

2) повреждено менее двух изделий;

3) повреждено не менее двух изделий.

Решение.

Обозначим – число поврежденных изделий в партии из 1000 изделий. Имеем . Следовательно, Так как , то можно применить формулу Пуассона (.19).

1) (

2)

3)

Ответ: 1) 0,27; 2) 0,45; 3) 0,55.