Часть . Случайные величины

.1. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины

Случайная величина  это числовая величина, которая в результате опыта принимает одно значение, заранее неизвестно, какое.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита , . . . . , а их возможные значения соответствующими строчными буквами. Случайная величина полностью определяется функцией распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины называется вещественная функция вещественного аргумента , равная вероятности события , состоящего в том, что случайная величина принимает какое-либо из своих значений, меньших данного числа :

( .1)

Свойства функции распределения

1. Функция распределения определена для любых .

2. Областью изменения функции распределения является отрезок [0, 1]: .

3. 

4. Функция распределения является неубывающей, т.е. для любых значений аргументов имеет место неравенство: .

5. Вероятность попадания в интервал равна разности значений функции распределения на концах интервала

( .2)

6. Функция распределения непрерывна слева и может иметь не более чем счетное число точек разрыва первого рода.

.2. Случайные величины с дискретным распределением

Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно, а сумма вероятностей этих значений равна единице.

Набор возможных значений случайной величины и соответствующие этим значениям вероятности называются законом распределения дискретной случайной величины .

Если возможные значения расположены в порядке возрастания, то полученный закон распределения называется рядом распределения. Ряд распределения представляют в виде таблицы, где в первой строке располагают возможные значения случайной величины, во второй – соответствующие этим значениям вероятности (см. табл.1).

Таблица 1

			...
			…

Ряд распределения изображают графически. В прямоугольной системе координат наносят точки , которые соединяют отрезками прямых. Полученный график называется многоугольником распределения.

Случайные величины всех типов полностью характеризует функция распределения. Зная ряд распределения, можно по формуле (1.1) построить функцию распределения. Для дискретной случайной величины формула ( .1) примет вид:

( .3)

Здесь индекс означает суммирование по всем , меньшим .

Функция распределения для случайной величины, заданной рядом распределения, представленным в табл.1, имеет вид

Графиком функции распределения является ступенчатая линия.