Решение.
1) Согласно п. .2. откладываем по оси интервалы, строим на интервалах прямоугольники с высотами . Гистограмма относительных частот представлена на рис.12.
2)
Выборочная функция распределения
это функция распределения вспомогательной
случайной величины
с возможными значениями
и вероятностями
.
Согласно п.
.1.
имеем
На рис.13 представлен график выборочной функции распределения (кумуляты)
Рис. 12 Рис. 13
3)
Выборочное среднее
и дисперсию
находим
по формулам (
.5).
Промежуточные
расчеты приведены в таблице 9.
Таблица 9
Интервалы
|
|
|
|
|
|
14.6 16.5 |
8 |
15.55 |
1.244 |
19.3442 |
0.04 |
16.5 18.4 |
12 |
17.45 |
2.094 |
36.5403 |
0.06 |
18.4 20.3 |
15 |
19.35 |
2.9025 |
56.1634 |
0.08 |
20.3 22.2 |
28 |
21.25 |
5.95 |
126.4375 |
0.15 |
22.2 24.1 |
19 |
23.15 |
4.3935 |
101.8253 |
0.10 |
24.1 26.0 |
11 |
25.05 |
2.7555 |
69.0253 |
0.06 |
26.0 27.9 |
55 |
26.95 |
1.3475 |
36.3151 |
0.03 |
27.9 29.8 |
22 |
28.85 |
0.577 |
16.6464 |
0.01 |
|
|
|
|
|
|
=462.3
Итак, выборочное среднее и дисперсия равна
Коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляем по формулам ( .6). Промежуточные расчеты приведены в таблице 10.
Таблица 10
|
|
|
(
) |
(
) |
|
|
8 |
15.55 |
5.72 |
187.15 |
1070.49 |
14.97 |
85.64 |
12 |
17.45 |
3.82 |
46.43 |
177.37 |
0.93 |
21.28 |
15 |
19.35 |
1.92 |
7.08 |
13.59 |
1.06 |
23.85 |
28 |
22.25 |
0.02 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
19 |
23.15 |
1.88 |
6.64 |
12.49 |
1.26 |
2.37 |
11 |
25.05 |
3.78 |
54.01 |
204.16 |
5.94 |
22.45 |
5 |
26.95 |
5.68 |
183.25 |
1040.86 |
9.16 |
52.02 |
2 |
28.85 |
7.58 |
435.52 |
3301.24 |
8.71 |
66.02 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда имеем
.
4) Гистограмма (рис.12) и полученные коэффициенты ассиметрии и эксцесса позволяют предположить, что генеральная совокупность распределена нормально. Построим доверительный интервал для математического ожидания, используя выборочные характеристики
Используем
формулу (
.8).
По
объему выборки
и доверительной вероятности
по таблицам распределения Стьюдента
(приложение 3) находим значение параметра
:
=1.96.
Следовательно,
Итак,
доверительный интервал для математического
ожидания генеральной совокупности
(20.65, 21.89), надежность оценки 0.95, точность
оценки:
.
5)
Проверим
гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности с параметрами
(математическое ожидание) и
(среднее квадратичное отклонение).
Используем критерий Пирсона (критерий
).
Для использования этого критерия 1)
надо объединить два последних интервала
(число вариант в интервале должно быть
больше 5);
2)
так как область допустимых значений
случайной величины
,
то начало первого интервала положить
конец последнего интервала положить
.
Промежуточные расчеты приведены в
таблице 11.
Таблица 11
|
|
|
|
|
|
|
16.5 |
8 |
1.52 |
0.5 0.4357 |
0.0644 |
6.44 |
0.38 |
16.5 18.4 |
12 |
1.52 0.92 |
0.4367 0.3212 |
0.1144 |
11.45 |
0.03 |
18.4 20.3 |
15 |
0.92 0.32 |
0.3212 0.1255 |
0.1957 |
19.57 |
1.07 |
20.3 22.2 |
28 |
0.32 0.29 |
0.1255 +0.1141 |
0.2396 |
23.96 |
0.68 |
22.2 24.1 |
19 |
0.29 0.89 |
0.1141 0.3133 |
0.1952 |
19.52 |
0.01 |
24.1 26.0 |
11 |
0.89 1.49 |
0.3133 0.4319 |
0.1186 |
11.86 |
0.06 |
28.0
|
7 |
1.49
|
0.4319 0.5 |
0.0681 |
6.81 |
0.01 |
)
Итак,
Теоретическая
вероятность
это вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины
21.3;
3.15) в интервал
.
Имеем
)
),
где
стандартная
функция Лапласа (см. п.
.6.).
В таблице 10 приведены промежуточные
расчеты теоретических вероятностей
и
критерия Пирсона
.
Далее
при уровне значимости
и числе степеней свободы
находим
по таблицам (приложение 4) теоретическое
значение статистики
.
Имеем
=9.49.
Сравниваем
и
.
Отсюда вывод: выборка не противоречит гипотезе о распределении генеральной совокупности с параметрами и .
Ответ: Выборка не противоречит гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами и .