Решение.
Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2, 3. По классической схеме находим вероятности событий:
Ряд распределения случайной величины имеет вид:
Таблица 3
-
0
1
2
3
7/24
63/120
21/120
1/120
Функцию распределения находим по формуле ( .3):
Вероятность попадания в заданный интервал находим по формуле ( .2):
Контроль:
Ответ:
.
Задача
II.3.
Дискретная случайная величина
может принимать только два значения
и
.
Известны вероятность
возможного значения
,
математическое ожидание
и дисперсия
.
Найти закон распределения случайной
величины
.
Решение.
Закон распределения случайной величины запишем в виде таблицы:
-
0,4
Зная,
что
,
найдем
:
Исходя из определения математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины (п. II.4), составим систему уравнений:
Решим эту систему. Умножим каждое уравнение на 5, упрощая, получим:
Выразим, например, из первого уравнения и подставим во второе:
Решая
квадратное уравнение относительно
,
получим два корня:
.
Подставляя
найденные значения в первое уравнение,
найдем соответствующие значения
.
Учитывая
условие
,
выбираем значения
и
.
Ответ:
-
2
5
0,4
0,6
Задача
II.4.
Дискретная случайная величина
задана таблицей. Известно математическое
ожидание
.
Найти неизвестное значение
,
неизвестную вероятность
,
дисперсию
,
среднеквадратичное отклонение
и вероятности событий
и
.
|
0 |
0,2 |
|
0,6 |
0,8 |
|
0,1 |
|
0,5 |
0,2 |
0,1 |
Решение.
Зная, что , найдем :
Исходя из определения математического ожидания для дискретной случайной величины (п. ), составим уравнение:
.
Решая его, найдем
Итак,
закон распределения случайной величины
имеет
вид:
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
0,1 |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
Вычислим
дисперсию и среднеквадратичное отклонение
(формулы ).
Имеем:
Найдем вероятности противоположных событий и , где .
Ответ:
Задача .5.
Дана функция распределения непрерывной случайной величины :
Найти
1) параметры
и
;
2) плотность распределения
;
построить графики функций
;
3) математическое ожидание
,
,
среднее квадратическое отклонение
;
4)
).
Решение.
1)
Функция распределения
непрерывна в точках
Из равенства левосторонних и правосторонних
пределов в этих точках получим систему
уравнений для определения параметров
и
:
Функция распределения имеет вид:
.
Плотность распределения находим по формуле :
.
Графики функций и представлены на рис. 3 и 6.
3)
График функции
симметричен относительно оси
.
Поэтому сразу получаем:
.
Эти характеристики можно найти по определению. Так по второй формуле ( .8) получим:
Дисперсию определим по второй формуле ( .9):
.
Среднее
квадратическое отклонение:
4) Вероятность события найдем по формуле ( .2):
Ответ:
1)
2) рис. 3 и 4; 3) 0; 0,5; 0,707; 4) 0,5.
Задача .4. Плотность распределения случайной величины задана функцией
.
Найти:
1) параметр
,
2) функцию распределения
,
3) вероятность
,
4) построить графики функций
и
.
Решение.
1) Параметр находим из свойства нормировки плотности распределения ( .6)
.
Имеем
2) Функцию распределения находим по формуле ( .4):
а)
б)
в)
.
Итак, функция распределения имеет вид
.
3) Вероятность найдем по формуле (2.2):
4) Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 8, 9.
ъ
Ответ:
1)
=2/9;
2)
;
3)
=4/9;
4) Рис. 5,6.