7.4 План однофакторного эксперимента и процедуры обработки результатов эксперимента

Наиболее прост в планировании так называемый однофакторный эксперимент, в котором изменяется лишь единственный фактор. (Уровни исследуемого фактора могут быть качественными или количественными, фиксированными или случайными). Уровнями фактора могут быть различные стратегии работы, различные конфигурации системы и различные уровни входной переменной. Число наблюдений или прогонов для каждого уровня режима или фактора определяется допустимыми затратами, желаемой мощностью проверки или статистической значимостью результатов.

Рассматриваемую ситуацию можно представить в виде следующей математической модели:

, где

X_ij обозначает i-е наблюдение (i = l, 2, ..., п) на j-м уровне (j =1, 2, ..., k уровней). Например, Х₄₂ обозначает четвертое наблюдение или прогон на втором уровне фактора;

 - общее влияние всего эксперимента;

T_j - влияние j-го уровня,

_ij - случайная ошибка i-го наблюдения на j-м уровне. В большинстве рассматриваемых в литературе экспериментальных моделей предполагается нормально распределенной случайной величиной с нулевым средним и дисперсией ², одинаковой для всех j.

В более сложных случаях в правую часть приведенного выше уравнения модели включают дополнительные переменные, позволяющие учесть влияние других факторов и условий задачи.

В таблице показан типичный план (макет) однофакторного эксперимента с k уровнями фактора.

Таблица 7.4

План однофакторного ДАНа.

Уровень фактора	1	2 ...	j …	k
	x11	x12 ...	x1j ...	x1k
	x21	x 22	x2j	x2k
	
Среднее		…	…

Основные методы анализа результатов:

1. Простейший (процедура АNOVA). Если режим или фактор имеют лишь два уровня, то можно использовать процедуры прямой проверки гипотез с использованием стандартных критериев (t, F, h² или отношений).

2. Если фактор или режим имеет более двух уровней, то обычно используется однофакторный дисперсионный анализ (ДАН) с нулевой гипотезой T_j = 0 для всех j. Количество наблюдений или прогонов не обязательно одинаково для различных уровней фактора. Если нулевая гипотеза верна, то наблюдение X_ij не зависит от уровня фактора и имеет среднее µ и случайную ошибку.

Большинство описанных в литературе классических экспериментальных планов основано на использовании дисперсионного или регрессионного анализа после сбора данных. Обычно при наличии качественных факторов используется дисперсионный анализ, а в случае, когда все факторы количественные, — регрессионный анализ. Рассмотрение соотношения между регрессионным и дисперсионным анализом (рис.7.4.).

Дисперсионный анализ приспособлен как к качественным, так и к количественным факторам. Если факторы количественны, то можно использовать ANOVA (ДАН) для проверки, есть ли эффект некоторого фактора, без уточнения (в виде регрессионной кривой) того, как меняется отклик при варьировании фактора во всей области экспериментирования. Если надо оценить отклик в некоторой точке экспериментальной области -следует строить регрессионную кривую.

Рис 7.4 — Соотношение между дисперсионным и регрессионным анализом.

3.Методы множественного ранжирования. Методы множественных сравнений.

Это методы применяются при сравнении нескольких вариантов систем, когда изучаем k — систем, каждой системе соответствует одна частная комбинация уровней факторов, варьируемых в эксперименте.

Методы множественного ранжирования — статистические методы полного (для всей совокупности) и неполного ранжирования, в литературе [20] называются методами принятия решений. Эти методы позволяют определить число наблюдений, которые надо взять из каждой k > 2 совокупностей, чтобы выбрать наилучшую совокупность. Наилучшая, обычно, -та совокупность, которая имеет наибольшее (или наименьшее -в зависимости от задачи) - среднее. (Критерием отбора может быть и дисперсия). Большинство процедур ранжирования последовательны. Обзор, эффективность, робастность (устойчивость) методов множественного ранжирования подробно рассматривается в [20].

Методы множественных сравнений. Если число экспериментов задано, тогда можно произвести различные типы сравнений между средними совокупностей:

сравнение со стандартным M₀ средним, соответствующим имеющейся эталонной системе (M_i -M₀), i = l, ..., k-l;

все попарные сравнения ;

построить линейные контрасты (и сравнить со стандартной системой и т.п.);

выделить подгруппу, содержащую наилучшую совокупность, а потом ее дополнительно исследовать экспериментально. Если все факторы количественны -более эффективен регрессионный анализ, чем методы множественных сравнений.