Свойства полного факторного эксперимента

Полный факторный эксперимент типа 2^k обладает свойствами: симметричности, нормировки, ортогональности, рототабельности.

Свойства 1, 2 вытекают из построения матрицы планирования. 1.

1.Симметричность относительно центра эксперимента:

Алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна 0.

, где

j = 1, ..., k — номер фактора, N — число опытов.

2.Условие нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

,

(т.к. значения факторов в матрице задаются +1, -1)

1 и 2 —это свойства отдельных столбцов матрицы планирования. Теперь остановимся на свойствах совокупности столбцов.

3.Ортогональность матрицы планирования: сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна 0.

4.Рототабельность (для линейной модели), т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Полный факторный эксперимент и его математическая модель

Выход (отклик) имитационной модели системы является временным рядом.

Пусть, выход содержит только одну выходную переменную. Для множественных выходов рассматриваемая процедура должна быть применена к каждой переменной отдельно.

Чтобы сравнивать различные варианты системы, целый временной ряд характеризуется посредством одной или нескольких величин (среднее, стандартное отклонение и т.д.). Назовем такую величину переменной отклика -Y.

Если X = (x₁ ,...,.x_k) — факторы, то отклик Y является функцией факторов Х.

Y=f(x₁,....,x_k)

Y — стохастическая переменная, является функцией от k факторов x_j (j = 1, …, k); f — и есть результат действия имитационной модели. Эта модель может быть аппроксимирована некоторой (например, линейной) регрессионной моделью (внутри некоторой экспериментальной области Е).

Простейшая (линейная) регрессионная модель для выражения эффектов от k-факторов имеет вид:

,

где в i-м имитационном прогоне (i-наблюдение) фактор j имеет значение и e_i представляет ошибку в регрессионной модели и по предположению имеет нулевое математическое ожидание.

Эта модель подразумевает, что изменение в x_j имеет постоянный эффект на ожидаемый отклик Y:

.

Более общая регрессионная модель постулирует, что эффект от фактора j зависит также от значения других факторов (с этим связан тот или иной вид нелинейности в регрессионных моделях).

Например, для случая k = 3 имеет место уравнение:

,

где вектор коэффициентов  содержит суммарное среднее, главные эффекты, и эффекты взаимодействия.

Техника регрессионного анализа

Эксперимент, содержащий конечное число прогонов позволяет получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения. Параметры полинома могут быть оценены и проверены на их значимость с помощью известной техники регрессионного анализа путем применением обычного или обобщенного метода наименьших квадратов.

Техника регрессионного анализа реализуется с помощью ряда процедур, включающих:

• Проверку постулатов регрессионного анализа (таких как проверка статистической гипотезы, о том что параметр оптимизации y —есть случайная величина с нормальным законом распределения, проверка однородности дисперсий и др.);

• Расчет коэффициентов регрессии;

• Проверку адекватности модели. Клейнен [20] рекомендует статистические проверки, основанные на использовании теста Стьюдента и F-теста. Если предполагаемая модель в результате окажется неприемлемой, то можно попробовать усложнить исходную модель путем добавлений двух- трех -факторных взаимодействий, или использовать преобразование исходных факторов, сужение экспериментальной области Е, изменение интервалов варьирования и другие подходы;

• Проверку значимости коэффициентов регрессии;

- Анализ коэффициентов регрессии. Коэффициенты указывают на силу влияния факторов. Эффект фактора численно равен удвоенному коэффициенту, т.е. чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или на нижний. Если коэффициент " +", - то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, если "-", - то уменьшается.

Вы знаете, что модель может быть нелинейной. Следующий вопрос — как оценить нелинейность, пользуясь полным факторным экспериментом.

Часто встречающийся вид нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор — так называемый эффект взаимодействия. При оптимизации стремятся сделать эффекты взаимодействия меньше, при интерполяции -важно их выявить.

Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия, пользуясь правилом перемножения столбцов — получают столбец произведения двух факторов.

Матрица планирования полного факторного эксперимента 2² с учетом эффекта взаимодействия будет иметь вид:

Таблица 7.5.2

Матрица планирования полного факторного эксперимента 2² с учетом эффекта взаимодействия.

N опыта	Х 1	Х 2	(Х1 Х 2)	Y
1	-1	-1	+1	y1
2	+ 1	-1	-1	y2
3	-1	+ 1	-1	y3
4	+ 1	+ 1	+1	y4

Все свойства матрицы планирования сохраняются, теперь модель выглядит:

.

вычисляется обычным образом.

Необходимо оценить 4 параметра (эффекта). Матрица планирования эксперимента составлена с помощью приема, развитого в теории планирования эксперимента: последняя колонка получена умножением соответствующих элементов в столбцах Х1 и Х2

Таблица 7.5.3

Полный факторный эксперимент 2³

N опыта	^X1	^X2	^ХЗ	^Х1^X2	^Х1^X3	^Х2^X3	^Х1^X2^X3	Y
1	-	-	+	+	-	-	+	Y1
2	+	-	-	-	-	+	+	Y2
3	-	+	-	-	+	-	+	^Y3
4	+	+	+	+	+	+	+	Y4
5	-	-	-	+	+	+	-	Y5
6	+	-	+	-	+	-	-	^Y6
7	-	+	+	-	-	+	-	Y7
8	+	+	-	+	-	-	-	Y8

Теперь не составляет труда составить матрицу планирования для полного факторного эксперимента 2^3: значения получаются перемножением столбцов (таблица 7.5.3.).

Эффект взаимодействия 2-х факторов называется эффектом взаимодействия 1-го порядка (парные эффекты взаимодействия); порядок на единицу меньше числа факторов. Здесь присутствуют тройные эффекты взаимодействия х₁х₂х₃.