7.6 Основные классы планов, применяемые в вычислительном эксперименте
Приведем краткий обзор планов, используемых в имитационном эксперименте.
По методу анализа и виду математической модели различают: планы дисперсионного анализа (однофакторный, многофакторный); планы регрессионного анализа; планы ковариационного анализа. Планы многофакторного анализа: двухуровневые, многоуровневые; симметричные, несимметричные.
В практике машинного эксперимента полезны следующие виды планов:
1. Планы многофакторного анализа:
Планы типа 2k-р Все k факторов имеют 2 уровня, используется часть всех комбинаций (дробная реплика) -существует возможность оценить главные эффекты факторов и взаимодействия низкого порядка.
Определяют следующие типы планов:
Планы разрешающей способности III:
ни один главный эффект не смешан ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, которые смешаны друг с другом.
Планы разрешающей способности IV:
ни один главный эффект не смешан с другим главным эффектом или взаимодействием двух факторов, но эти взаимодействия смешаны друг с другом.
Планы разрешающей способности V:
ни один главный эффект и ни одно взаимодействие 2-х факторов не смешаны с другими главными эффектами или двухфакторными взаимодействиями, но эти взаимодействия смешаны с взаимодействиями трех факторов.
В общем случае разрешающая способность плана равна наименьшему числу символов в коде определяющего контраста.
2. Планы отсеивающего эксперимента:
Если k велико, число комбинаций все-таки остается большим даже при неполном факторном плане (2k-p), - тогда используются планы отсеивающих экспериментов. "Отсеивающий эксперимент" предполагает предварительное отсеивание, определение наиболее важных (существенных) факторов и используется на стадии предварительного исследования.
2.1. Случайные планы
Комбинации уровней факторов случайно (рандомизация) отбираются среди всех возможных комбинаций. Число комбинаций N может быть определено независимо от числа факторов и уровней. (N может быть, например, < k). Могут быть получены "хорошие" оценки индивидуальных эффектов, не требуется специальных методов анализа -используются традиционные ДАН и регрессионный анализ.
Если очень много факторов - можно использовать сверхнасыщенные планы:
Сверхнасыщенные планы. Если реплики от планов 2k насыщены, то они содержат как раз столько опытов, сколько эффектов надо оценить. Сверхнасыщенные планы -когда число комбинаций N меньше, чем число факторов k, и комбинации отбираются так, чтобы (для данных N и k) оценки эффектов были достаточно "хорошими".
Планы группового отсеивания (последовательного отсеивания). k факторов разбиваются на q групп (q<<k) и эти q групп факторов испытываются в плане типа 2k-р или в сверхнасыщенном плане. Та группа факторов, которая оказалась наиболее важной, разбивается на несколько групп меньшей размерности (в конечном итоге до групп размерности 1).
3. Планы для изучения поверхности отклика
В имитационном моделировании используется технология последовательного планирования.
На практике, например, может быть использована следующая схема проведения эксперимента: допустим, сначала реализуется план 2*р-используется малая часть эксперимента; если оказывается его недостаточно (часть эксперимента слишком мала для оценки всех эффектов) необходимо уменьшить дробность плана, дополнить план эксперимента ("методом перевала") -расширить эксперимент до полного факторного эксперимента- и т. д.
Аналогичные типы планов, основанные на последовательном планировании используются в методологии анализа поверхности отклика (см. раздел 7.7.), которая состоит в отыскании оптимальной комбинации уровней k количественных факторов.
Рассмотрим некоторые планы, полезные для анализа поверхности отклика.
Дело в том, что в почти стационарной области желательно аппроксимировать поверхность отклика по меньшей мере полиномом второго порядка. Для этой цели проводится эксперимент квадратичного приближения. Ниже приведен общий вид квадратичного полинома (второго порядка) для случая двух независимых переменных
.
Для оценивания коэффициентов регрессии в этой модели необходимо измерить каждый фактор или переменную по меньшей мере на трех уровнях. Это означает необходимость использования полного 3n-факторного эксперимента или же неполного факторного эксперимента. К сожалению, в случае более чем трех переменных число необходимых прогонов может стать слишком большим даже при использовании неполного факторного эксперимента. Кроме того, эксперимент с 3n комбинациями дает довольно низкую точность оценок коэффициентов регрессии.
Для квадратичных полиномов используют специальные способы построения эксперимента. Из них наиболее полезны центральные композиционные, или ротатабельные, построения, которые получаются посредством добавления дополнительных точек к данным, полученным из 2n-факторного эксперимента. Для ротатабельных построений стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. Такие построения существуют для любого числа факторов и представляют собой регулярные и полурегулярные геометрические фигуры с центральными точками.
Весьма простое и полезное построение, называемое куб плюс звезда плюс центральные точки, приведено для случая двух переменных на рисунке 7.6.1. Отметим, что это 22 эксперимент (куб), плюс четыре дополнительные точки (звезда), расположенные на равном расстоянии друг от друга в плоскости по окружности с центром (0, 0), плюс центральные точки. Тот же самый принцип, но применительно к 3-факторному эксперименту, иллюстрируется на рис. 7.6.2.
Рисунок 7.6.1 — 22-факторный план плюс звезда и центральные точки
Рисунок 7.6.2 — 32-факторный план плюс звезда и центральные точки
Другое полезное ротатабельное построение, называемое гексагональ плюс центральные точки, приведено на рисунке 7.6.3.
Рисунок 7.6.3 — Гексагональный план
Известны и другие типы планов: латинские квадраты, квадраты Юдена, сбалансированные блоки и др.
На практике может быть полезен план Бокса В2 в кодированном двухфакторном пространстве, иллюстрированный на рисунке 7.6.4.
Рисунок 7.6.4 — План Бокса B2