Продовження таблиці 1.1

( )	Вертикальна дзеркальна площина симетрії (РхОХ)
	Похила дзеркальна площина симетрії
( с )	Центр симетрії
ті і • • ••• Іномостереографічні проекції
( о )	Горизонтальна (верхня) грань кристала (р=0)
( "> )	Похила грань кристала, звернена нагору (0<р<90°)
( )	Вертикальна грань кристала, розташована перпендикулярно (р=90°)
( □)	Похила грань кристала, звернена униз (90°<р<180°)
( 0 )	Горизонтальна (нижня) грань кристала (р=180°)
( 0 )	Верхня і нижня горизонтальні грані кристала р1=0; Р2=180°)
( 0)	Дві похилі грані кристала (р2~180° - р1)

Стереографічна проекція вертикальної площини симетрії має вигляд діаметра кола проекції, зображеного суцільною подвійною лінією.

Стереографічна проекція горизонтальної площини симетрії має вигляд кола, що співпадає з границею кола проекції, і зображується суцільною подвійною лінією (двома концентричними колами).

Для зображення граней багатогранника використовують гномостереографічні проекції (від грецького слова гномон - нормаль). При цьому зображається не багатогранник, а його полярний комплекс, тобто не грані кристала, а нормалі до грані.

Площиною гномостереографічної проекції служить та ж екваторіальна площина сфери, що і для стереографічної проекції.

Щоб одержати гномостервографічну проекцію площини, проводять нормаль від цієї площини до перетину зі сферою проекції і далі лінію, що з'єднує отриману полюсну точку з точкою зору Б (см рис.1.11).

Щоб побудувати, гномостереографічні проекції нормалей, що перетинають шар в нижній півсфері, переносять точку зору у північний полюс сфери N (рис.1.12). Проекції граней, розташованих вище площини проекції, позначають кружками, а нижніх - хрестиками. Іноді верхню грань зображують порожнім кружком, нижню - начорненим.

Горизонтальної грані проектуються в центрі кола проекції (верхня - кружком, нижня - хрестиком), вертикальної грані - на самому колі проекції, а похилі грані - усередині його. Чим більше кут нахилу похилої грані, тим далі від центру розташовується точка, що є її проекцією.

Порядок виконання роботи

1. Визначити елементи симетрії кристалічного багатогранника.

2. Вибрати спеціальну координатну систему для кристалічного багатогранника і встановити його.

3. 

   Рисунок 1.12 - Прин-цип побудови гномо­стереографічної проекції

   Зобразити стереографічну і гномостереографічну проекцію кристалічного багатогранника.

Рисунок 1.13 - Стереографічна та гномостереографічна проекція тетрагональної діпіраміди Приклад. На рис.1.13 зображені стереографічна і гномостереографічна проекції тетрагональної діпіраміди.

Елементи симетрії кристала -Ь₄4Ь₂5РС. Вибираємо за вісь 07 - вісь Ь₄, за осі ОХ і 0У - координатні осі Ь₂.

Контрольні питання

1. Основне призначення стереографічних проекцій.

2. Чим відрізняються стереографічна і гномостереографічна проекції грані кристала?

3. Принцип побудови стереографічної проекції.

4. Де на гномостереографічній проекції розташовуються вертикальні

грані кристала?

5. Як відрізнити по гномостереографічні проекції верхню і нижню грані кристала?

Лабораторна робота № 1.4 ВИЗНАЧЕННЯ КЛАСІВ ИМЕТРІЇ

Мета роботи - вивчити принципи визначення класів симетрії.

Площини симетрії, осі симетрії прості та інверсійні, центр симетрії знаходяться у кристалах у різних сполученнях. Число можливих сполучень елементів симетрії в кристалічних багатогранниках обмежено через відсутність у кристалах осей симетрії п'ятого, сьомого і більш високих порядків і певного числа способів взаємного розташування елементів симетрії. Якщо у багатограннику є єдиний напрямок, що не повторюється, то такий напрямок називається особливим або одиничним.

Відповідно до числа одиничних напрямків та симетрії всі кристали поділяються на три категорії: вищу, середню та нижчу.

До вищої категорії відносять кристали, що не мають одиничних напрямків, а осей порядків вище другого мають декілька.

Середню категорію складають кристали, що мають один одиничний напрямок та декілька осей другого порядку.

До нижчої категорії відносять кристали, що мають декілька одиничних напрямків і не мають осей вище другого порядку.

Три категорії, в свою чергу, поділяються на сім сингоній. У сингонію об'єднують кристали, що мають однакову симетрію елементарних комірок та однакову систему координат.

До вищої категорії належить лише одна сингонія - кубічна; до середньої три сингонії - тригональна, тетрагональна та гексагональна; до нижчої також три - ромбічна, моноклинна та триклинна.

Сім сингоній у свою чергу поділяються на 32 класи. КЛАСОМ СИМЕТРІЇ називається повна сукупність (комбінація) елементів симетрії кристалічного багатогранника.

Російський кристалограф А.В.Гадолін теоретичним шляхом вивів всі 32 класи симетрії кристалічних багатогранників.

Для виведення класу симетрії зазвичай беруть два або три елементи симетрії (елементи симетрії, що породжують), і знаходять потім (наприклад, розмножуючи пробну грань і проекції) і інші (породжені) елементи симетрії.

Таблиця 1.2 - Класи симетрії кристалічних багатогранників

Категорія	Сингонія	Клас симетрії	Число класів симетрії
Нижча	Триклинна Моноклінна Ромбічна	1 (L1); 1 (с) m (Р); 2 (L2); 2/m(L2РС) mm (L22Р); 222 (3L2); mm (3L23РС)	2 3 3
Середня	Тригональна	3 (L3); 32 (Ь33Ь2) 3т (3РЬ3); 3 (Ц) 3т (Ь$3Ь23РНЦ3Ь23РС)	5
Середня	Тетрагональна	4 (Ц); 422 (Ь44Ь2) 4тт (Ь44Р); 4/т (Ь4РС) 4/ттт (Ь44Ь25РС) 42т (Ь42Ь22Р)	7
Середня	Гексагональна	6 (Ц); 622 (Ьб6Ь2) 6шш (Ь66Р); 6/т (ЬбРС) 6/ттт (Ь66Ь27РС) 6т2 (Ь63Ь23Р)	7
Вища	Кубічна	23 (3Ц4Ь3) т3 (3Ь24Ь33РС) 432 (3Ь44Ь36Ь2) т3т (3Ь44Ь36Ь29РС)	5

Повну сукупність елементів симетрії (клас) можна записувати не тільки за допомогою формули елементів симетрії. Широко застосовується МІЖНАРОДНИЙ СИМВОЛ КЛАСУ СИМЕТРІЇ. На відміну від формули симетрії міжнародний символ складається із символів лише деяких характерних елементів симетрії, що входять у формулу симетрії. Повна формула симетрії легко може бути виведена з міжнародного символу з урахуванням теорем сполучення елементів симетрії і правил запису міжнародних символів класів симетрії.

У класах симетрії середньої категорії на першій позиції в міжнародному символі записується вертикальна вісь симетрії вищого порядку (3; 4; 6; 3; 4; 6), потім (на другій позиції) - або горизонтальні координатні осі симетрії (наприклад, клас 622), або координатні вертикальні площини симетрії (клас 6mm). Якщо є горизонтальна площина симетрії, то її записують таким чином - 6/m . На третій позиції вказуються діагональні елементи симетрії - або горизонтальні осі симетрії другого порядку (клас 6m2) або вертикальні площини симетрії (клас 4/mmm).

У класах симетрії вищої категорії в міжнародному символі спочатку записується символ трьох однакових елементів симетрії, що розташовуються в трьох взаємно перпендикулярних (координатних) напрямках - чи осі симетрії (3L₂,3L₄,3L₄), чи площини симетрії, потім пишеться цифра 3, яка вказує, що кожний з цих класів симетрії, містить 4L₃, розташовані як просторові діагоналі в кубі, і, нарешті, указуються - елементи симетрії в діагональному напрямку (якщо вони є, у класі 432 - це шість осей

L). . . .

У класах симетрії нижчої категорії перевага віддається площинам симетрії (при їх відсутності записуються осі симетрії). Елементів симетрії тут небагато, виняток складає клас mmm, у міжнародному символі якого зазначені три взаємно перпендикулярні площини симетрії (приведене позначення даного класу є скороченим, бо утворюється від повного 2/mmm, де послідовно зазначені вісь L₂, горизонтальна площина симетрії, вертикальні площини симетрії).

Цифри в міжнародному символі класу симетрії позначають порядок осі (осей) симетрії, розташованої (або розташованих) у зазначених напрямках.

Символ m позначає одну (або декілька) площину симетрії, розташовану у певному напрямку (у класах симетрії середньої категорії цей символ позначає вертикальну площину симетрії).

Символ n/m - під рисою в міжнародному символі позначається площина симетрії (горизонтальна), що розташовується перпендикулярно осі симетрії вищого порядку.

Особливе значення мають цифри 1 і 1, що позначають відповідні класи симетрії триклинної сингонії. Клас 1 формально позначає наявність у якості єдиного елемента симетрії осі симетрії першого порядку L1, тобто відсутність площин симетрії, осей симетрії другого, третього, четвертого та шостого порядків, а також центру

симетрії. Клас 1 містить єдиний елемент симетрії -центр симетрії, що формально подається як інверсійна вісь першого порядку.

Схема формування міжнародного символа класів симетрії

ь^Г₂ ірГ 4рВ с

/Ш тш

Ь₄4Ь₂5РС=]

КІі

^4

Порядок виконання роботи

1. Визначити елементи симетрії кристалічного багатогранника,

2. Побудувати стереографічну проекцію елементів симетрії кристалічного багатогранника, виділяючи елементи симетрії в координатних напрямках. Проаналізувати кратність того або іншого елемента симетрії, взаємозв'язок між окремими елементами симетрії. Наприклад, при наявності центру симетрії число парних осей симетрії дорівнює числу площин симетрії (площини перпендикулярні осям симетрії парного порядку).

3. При записі міжнародного символу перевага віддається площинам симетрії. Наприклад, при наявності в координатному напрямку осі симетрії і нормалі до площини симетрії в міжнародному символі указується лише площина симетрії.

4. У класах симетрії кубічної сингонії необхідно фіксувати увагу на розходженні координатних і діагональних елементів симетрії і їх кратності (три для координатних і шість для діагональних).

У кубічних кристалах завжди є присутнім чотири осі симетрії Ь₃, що розташовуються як об'ємні діагоналі в кубі. У кубічних кристалах координатні елементи симетрії повторюються тричі (3Ь₄, 3Ь₄, 3Ь₂, 3Р).

У кубічній сингонії діагональні елементи симетрії повторені шість разів (6Ь₂, 6Р).

У кубічних кристалах число площин симетрії кратне трьом: а - коли кристал містить тільки координатні площини симетрії (нормалі їх збігаються з координатними напрямками), то їх буде три (наприклад, тЗ); б - діагональних площин симетрії в кристалі шість (наприклад, 43т); в - якщо кристал містить як координатні, так і діагональні елементи симетрії, загальне число площин симетрії буде дорівнює дев'яти (наприклад, шЗш).

підставі теорем про елементів симетрії

Рисунок 1.14 - Кристал кубічної сингонії та його стереографічна проекція

5. На сполучення кристалічних міжнародний (рис.1.14).

багатогранників записати символ класу кристала

Приклад:

Формула елементів симетрії: 3L₄4Lз6L₂9PC

Після зображення стереографічної проекції кристала, виділимо координатні і діагональні елементи симетрії: три площини симетрії координатні, позначимо символом m; чотири осі Lз - символом 3; шість площин симетрії діагональних - символом m. У результаті одержуємо міжнародний символ класу кристала кубічної сингонії mЗm.