2.4.2 Підведення підсумків теми
Користуючись прийомами активізації рефлексивної діяльності, необхідно зафіксувати у свідомості учнів результати навчальної діяльності:
просунулись в усвідомленні загальних понять зворотних тригонометричних функцій;
систематизували, повторили, розширили способи розв'язання тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем;
розширили знання про розв’язання прикладних задач, задач із суміжних предметів
2.4.3. Заключна бесіда вчителя
В заключній бесіді можна розглянути різні погляди на тему, яку вивчали, зв'язок її з іншими темами, які вивчали і які ще будуть вивчатися. Навести застосування матеріалу теми, історичні відомості, звернувши увагу на історію розвитку ідей, які розглядались у темі.
Історична довідка
Тригонометрія є одним з найбільш молодих відділів елементарної математики, що отримали остаточне оформлення лише в XVIII в., Хоча окремі ідеї її відносяться до глибокої давнини, до античного світу і до математичного творчості індусів (К. Птолемей, II ст., Аль Баттані, IX в ., тощо). Європейські математики досягли високого ступеня досконалості в обчисленні таблиць натуральних синусів і тангенсів (Регіомонтанус, XV в., Ретікус і Пітіскус, XVI в., Тощо).
Сама назва «тригонометрія» грецького походження, що означає «вимір трикутників»: (трігонон) - трикутник, (метрейн) - вимір.
Наукова розробка тригонометрії здійснена Л. Ейлером в його праці «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Він створив тригонометрію як науку про функції, дав їй аналітичний виклад, вивів всю сукупність формул з небагатьох основних формул. Позначення сторін малими буквами і протилежних кутів - відповідними великими буквами дозволило йому спростити всі формули, внести в них ясність і стрункість. Ейлеру належить думка розглядати тригонометричні функції як відносини відповідних ліній до радіуса кола, тобто як числа, причому радіус кола як «повний синус» він прийняв за одиницю. Ейлер отримав ряд нових співвідношень, встановив зв'язок тригонометричних функцій з показовими, дав правило знаків функцій для всіх чвертей, отримав узагальнену формулу приведення і звільнив тригонометрію від багатьох помилок, які допускалися майже у всіх європейських підручниках математики.
Твір Л. Ейлера надалі послужило фундаментом для підручників тригонометрії. Одне з перших посібників, «Скорочена математика» С. Румовского (1760), відділ «Початкові підстави плоскою тригонометрії», починає виклад наступним чином: «Тригонометрія плоска є знання через Арифметичні викладки сисківать трикутники, які геометрія кресленням знаходить». Всі виклад зводиться до вирішення трикутників (найпростіші випадки), обчислення проводяться дуже складним шляхом, вчення про функції відсутня. Таким чином, тригонометрія виникла на геометричній основі, мала геометричний мову і застосовувалася до вирішення геометричних задач. Розвиток алгебраїчної символіки дозволило записувати тригонометричні співвідношення у вигляді формул, застосування негативних чисел дозволило розглядати спрямовані кути і дуги і поширити поняття тригонометричних ліній (певних відрізків в колі) для будь-яких кутів. В цей період створилася база для вивчення тригонометричних функцій як функцій числового аргументу, основа аналітичної теорії тригонометричних (кругових) функцій. Аналітичний апарат, що дозволяє обчислювати значення тригонометричних функцій з будь-яким ступенем точності, був розроблений Ньютоном. [25] Сучасний вигляд тригонометрія отримала в працях великого вченого, члена Російської академії наук Л. Ейлера (1707 - 1783). Ейлер став розглядати значення тригонометричних функцій як числа - величини тригонометричних ліній в колі, радіус якої прийнято за одиницю («тригонометричний коло» або «одинична окружність»). Ейлер дав остаточне рішення про знаки тригонометричних функцій в різних чвертях, вивів всі тригонометричні формули з кількох основних, встановив кілька невідомих до нього формул, ввів однакові позначення. Саме в його працях вперше зустрічаються записи. Він також відкрив зв'язок між тригонометричними і показовою функціями від комплексного аргументу. На підставі робіт Л. Ейлера були складені підручники тригонометрії, излагавшие її в суворій науковій послідовності. Аналітичне (не залежне від геометрії) побудова теорії тригонометричних функцій, розпочате Ейлером, отримало завершення в працях великого російського вченого М.І. Лобачевського. Сучасна точка зору на тригонометричні функції як на функції числового аргументу багато в чому обумовлена розвитком фізики, механіки, техніки. Ці функції лягли в основу математичного апарата, за допомогою якого вивчаються різні періодичні процеси: коливальні рухи, поширення хвиль, руху механізмів, коливання змінного електричного струму. Як показав Ж. Фур'є (1768 - 1830), всяке періодичне рух з будь-яким ступенем точності можна представити у вигляді суми найпростіших синусоїдальних (гармонічних) коливань. Якщо на початку розвитку тригонометрії співвідношення лише виражало залежність між площами квадратів, побудованих на сторонах змінного прямокутного трикутника з гіпотенузою рівній 1, то в подальшому це ставлення стало відображати також складання двох коливальних рухів з яка відбувається при цьому інтерференцією. Таким чином, на початкових стадіях свого розвитку тригонометрія служила засобом вирішення обчислювальних геометричних задач. Її змістом вважалося обчислення елементів найпростіших геометричних фігур, тобто трикутників. Але в сучасній тригонометрії самостійне і настільки ж важливе значення має вивчення властивостей тригонометричних функцій. Цей період розвитку тригонометрії був підготовлений всім ходом розвитку механіки коливальних рухів, фізики звукових, світлових і електромагнітних хвиль. В цей період дані узагальнення багатьом термінам тригонометрії і, зокрема, виведені співвідношення для, де n - натуральне число, та ін Функції і розглядаються тепер як суми статечних рядів: Крок вперед робить академік М. В. Остроградський у 1851 р. У своєму конспекті з тригонометрії для керівництва у військово-навчальних закладах він виступає як прихильник визначення тригонометричних функцій, на першому етапі їх вивчення, як відносин сторін у прямокутному трикутнику з наступним узагальненням їх визначення і поширенням його на кути будь-якої величини.
