37. Сглаживание рядов динамики.

Механическое выравнивание проводится в основном путем укрупнения временных интервалов или с использованием скользящей средней: по исходному ряду включая, например, 3 первых уровня рассчитывается средняя величина, и полученная величина относится к середине интервала. Далее рассчитывается среднее значение по трем уровням, но начиная со второго. Полученное средне значение относится к середине интервала, но к 3-му уровню. Если для определения скользящей средней используется четно число уровней (например 4), то получаемая средняя величина попадает в интервал м/у 2-ым и 3-им уровнем. Следующее среднее значение попадает в интервал м/у 3-им и 4-ым уровнями. В этих условиях необходимо применить так называемое центрирование – когда выровненный уровень будет рассчитываться как средняя арифметическая м/у 2-мя скользящими средними: . Чем > период скольжения, тем более отчетливо выявляется основная тенденция. Однако, с увеличением периода скольжения более существенно сокращается анализируемый ДРяд, что отрицательно сказывается на построении моделей. Аналитическое выравнивание в отличие от механического, позволяет не только более отчетливо увидеть основную тенденцию развития изучаемого явления, но и получить аналитическую форму изучаемого временного ряда, точнее его основной тенденции.

Эта аналитическая форма получила название трендовой модели. Трендовая модель представляет собой уравнение регрессии, в котором в качестве признака результата выступает уровень изучаемого ряда, а в качестве фактора – время. Уравнение тренда: , где , где y –уровень ряда, t-время. Т.е. уровень ряда есть функция времени. Однако следует понимать, что изменение уровней временного ряда (конкретных экономических показателей) происходит не потому что год сменяется годом, а потому что меняется проявление конкретных внутренних и внешних факторов. Время в трендовой модели выступает совокупным фактором, за изменением которого следует видеть изменение конкретных экономических и других факторов. Построение трендовой модели предполагает выбор формы модели и расчет параметров уравнения. Ошибка в выборе формы тренда более существенно сказывается на прогнозе, чем ошибка в расчете параметров. Прежде чем приступить к определению формы трендовой модели, т.е. модели, описывающей основную тенденцию изучаемого явления, следует убедиться в наличии самого тренда, т.е. тенденции развития. Ряд, в котором отсутствует тенденция называется стационарным. Уровни таких рядов колеблются вокруг средних значений, отклонения от которых есть случайные колебания. Стационарные ряды чаще всего можно видеть в рядах, построенных по относительным и средним показателям. Для того, чтобы определить наличие тенденции в изучаемом ДРяду, ряд разбивают на 2 ~ равных периода и рассчитывают значение среднего уровня по каждому из них. Затем с использованием t-статистики проверяется о несущественности различий м/у полученными средними: . T-статистика рассчитывается: ,где сигма – среднее квадратическое отклонение разности средних (стандартная ошибка). Стандартная ошибка рассчитывается исходя из дисперсий по каждому временному отрезку и рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная: . Поскольку временные ряды не очень длинные, то стандартная ошибка считается по правилу малой выборки, т.е. учитывается не только n, а (n-1). Полученное значение t статистики сравнивается с табличным значением, и если t_ф≥t_табл, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная о существенности различий в средних величинах, полученных по двум временным отрезкам. Что будет свидетельствовать о наличии тенденции в изучаемом временном ряду.

38. Понятие тренда.

В отличие от механического, позволяет не только более отчетливо увидеть основную тенденцию развития изучаемого явления, но и получить аналитическую форму изучаемого временного ряда, точнее его основной тенденции.

Эта аналитическая форма получила название трендовой модели. Трендовая модель представляет собой уравнение регрессии, в котором в качестве признака результата выступает уровень изучаемого ряда, а в качестве фактора – время. Уравнение тренда: , где , где y –уровень ряда, t-время. Т.е. уровень ряда есть функция времени.

1. Графический.

При отображении временного ряда на графике по оси абсцисс – время, по OY значение уровней.

2. Анализ показателей изменения уровней ДР.

Анализ показателей изменения уровней ДР с учетом свойств известных математических функций. Широко распространен метод конечных разностей. Например, если примерно построенными являются абсолютные приросты (первые разности), а вторые разности равны 0 (ускорение), то в качестве тренда может быть использовано линейное уравнение. Если приблизительно одинаковые вторые разности, а третьи равны 0, то можно использовать полином 2-ой степени, и т.д. Т.е. порядок приблизительно построенных разностей определяет степень полинома.

3. Формальный выбор тренда с использованием формальных критериев (формул).

   1. Минимальное значение квадрата разности между фактическими и выровненными уровнями.

- выровненные уровни.

- фактические уровни.

2. Минимальное значение стандартной ошибки или среднеквадратического отклонения.

n – длина ряда

m – число параметров уравнения тренда.

3.3. Минимальное значение средней ошибки аппроксимации

39. Оценка качества модели динамического ряда.

Перечисленные критерии оценивают степень приближения линий тренда к точкам фактических показателей ДР. Поэтому для выбора вида тренда достаточно использовать один из этих критериев.

Наряду с указанными критериями дл выбора формы тренда для последующего программирования max значения коэффициента детерминации или max значение F –критерия Фишера, поскольку эти характеристики отражают степень объясненности вариации результативного признака, в данном случае вариации уровней изучаемого ДР.

Обязательным элементом оценки качества трендовой модели на ее пригодность для прогнозирования является оценка автокорреляции остатков модели.

Остатки – разность между фактическими значениями уровней ряда и значениями, полученными на основе уравнения тренда.

Автокорреляция – это зависимость остатков каждого периода от остатков предшествующего периода.

наличие автокорреляции в остатках означает присутствие в них тенденции в остатках. Поскольку основная задача трендовой модели – описать основную тенденцию ряда, то сохранение тенденции (автокорреляции) в остатках свидетельствует о плохом качестве полученной модели.

Автокорреляция в остатках может быть оценена через коэффициент автокорреляции, предполагаемый Эзекилем и Фоксом. Он рассчитывается:

Коэффициент автокорреляции изменяется по модулю от 0 до 1. Об отсутствии автокорреляции в остатках говорит величина коэффициента, близкому к 0. Однако, для более объективной оценки наличие или отсутствие автокорреляции в остатках используется специальный критерий Durbin-Watson:

Между критерием Durbin-Watson и коэффициентом автокорреляции существует следующая зависимость: , если

Значения критерия D-W близкое к двум будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции в остатках, если Т.е . при полной отрицательной корреляции остатков D-W=4, если , т.е. при полной положительной автокорреляции остатков критерий D-W =0.

Т.о. D-W изменяется в пределах от . Критерий табулирован исходя из числа уровней ДР и числа параметров уравнения по таблице находят нижнюю и верхнюю границы критерия. Если фактическое значение критерия меньше средней границы автокорреляция в остатках присутствует. Если фактическое значение больше верхней границы, автокорреляция в остатках отсутствует. Если значение коэффициента находится между пограничными значениями – ситуация комментируется как ситуация неопределенности, требуется дополнительные исследования. - нижняя. - верхняя гр.

Прогнозирование (экстраполяция) на основе трендовых моделей.

Если удается получить качественную модель ДР, то на ее основе может быть осуществлено прогнозирование.

Экстраполяция – продление существующей тенденции в будущие. Может быть осуществлена и на основе показателей изменения уровней ДР, если они примерно постоянны.

Прежде чем приступить к расчету прогноза необходимо обратиться к содержательному теоретическому анализу изучаемого явления или процесса. Поскольку показатели РД и модели характеризуют сложившуюся закономерность в развитие явления, то осуществление прогноза возможно только в условиях уверенности, что в будущем описанная тенденция сохранится.

Трендовая модель – это модель в качестве фактора, которого вступает время.

Рассчитав параметры a и b для получения прогнозирования достаточно в уравнение тренда подставить порядковый номер года, на который осуществляется прогноз.

Если ( на 20 лет ДР) нам нужен 21 год, для этого:

Среднегодовой прирост экспорта составляет 0,2 млр.$

Прогноз, полученный на основе уравнения тренда – это та называемый точечный прогноз о полной реализации которого не м.б. и речи. Точечный прогноз д.б. дополнен расчетом доверительных интервалов и указанием доверительной вероятности попадания прогнозируемого показателя в рассчитанный интервал.

Фактическая величина точечного прогноза маловероятна, поскольку тренд описывает только основную тенденцию изучаемого ряда, а уровень ряда кроме трендовой компоненты содержит и др. компоненты, по крайней мере случайную.

Доверительный интервал прогноза рассчитывается на основе показателя, оценивающей степень колеблимости значений фактических уровней вокруг тренда.