7.4. Закон распределения молекул по скоростям

 Распределение молекул по скоростям (Максвелл). В § 7.3. мы ввели понятие средней квадратичной скорости молекул как средней характеристики всех молекул газа, справедливо считая, что скорости конкретных молекул отличаются друг от друга даже в состоянии термодинамического равновесия.

Максвелл установил закон, определяющий число молекул из общего числа молекул в единице объема (концентрация молекул), которые обладают при данной температуре скоростями поступательного движения в интервале от до :

, где

— масса молекулы, — постоянная Больцмана.

 Наиболее вероятная скорость молекул.

Из закона распределения молекул по скоростям можно определить наиболее вероятную скорость молекул . Решая задачу на экстремум функции

,

получаем

.

Таким образом наиболее вероятная скорость молекул зависит только от температуры и молярной массы молекул.

Закон максвелловского распределения молекул по скоростям может быть записан в виде:

,

где скорости молекул рассматриваются в единицах наиболее вероятной скорости .

Рис. 7.4.2

Рис. 7.4.1

На рисунке 7.4.1. приведена кривая распределения молекул по скоростям.

Число частиц со скоростями в интервале от до равно площади криволинейной трапеции. Очевидно, что вся площадь, ограниченная кривой равна концентрации молекул газа . С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его высота уменьшается (рис.7.4.2).

 Средняя арифметическая скорость молекул определяется интегралом

.

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа:

— средняя квадратичная скорость;

— средняя арифметическая скорость;

— наиболее вероятная скорость.

7.5. Барометрическая формула #

 Барометрическая формула. В реальных земных условиях на молекулы газ всегда действует сила тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к тому, что концентрация молекул и давление убывают с высотой.

Найдем закон изменения давления газа с высотой. По формуле Паскаля при увеличении высоты на бесконечно малую величину , когда изменением плотности газа можно пренебречь давление газа понизиться на :

.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа и заменим плотность по формуле . Тогда,

 .

Считая и интегрируя по высоте от до , получаем:

, или

— барометрическая формула.

Здесь — давление газа на высотах .

Глава 8 основы термодинамики

8.1. Первый закон термодинамики

Внутренняя энергия (Дж) это кинетическая и потенциальная энергия атомов и молекул, из которых состоит тело. Для идеального газа это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения его молекул.

 Закон равнораспределения гласит: на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия, равная , где – постоянная Больцмана. Следовательно, внутренняя энергия системы из молекул, равна

или , где

– число степеней свободы молекулы,

 – число молей газа,

– универсальная газовая постоянная,

– абсолютная температура.

Внутренняя энергия является однозначной функцией термодинамических параметров и не зависит от предыстории состояния, поэтому является полным дифференциалом, например, для идеального газа

.

 Количество теплоты (Дж) – это энергия, передаваемая системе путем теплообмена без совершения механической работы. Количество теплоты зависит от предыстории состояния, например, как будет показано, для изменения температуры системы на один градус в различных процессах требуется разное количество теплоты. Количество теплоты не является полным дифференциалом. Количество теплоты можно определить, зная теплоемкость процесса

Теплоемкость (Дж/К) — это количество теплоты необходимое для изменения температуры системы на один кельвин.

Удельная теплоемкость это теплоемкость одного килограмма вещества. Зависит от строения вещества и температуры:

.

Рис. 8.1.1

Работа (Дж), совершаемая системой (газом) при изменении объема не является полным дифференциалом и зависит от хода термодинамического процесса

При расширении газа (рис. 6.1.1) поршень площадью под действием силы переместился на . Элементарная работа . Так как давление , то т.к. 

.

Работа при конечном изменении объема от до равна: .

Графически работа определяется площадью криволинейной трапеции на – диаграмме (рис. 8.1.2):

Рис. 8.1.2

На графиках стрелкой указаны направления процессов. При увеличении объема системы работа газа положительна, при уменьшении – отрицательна.

Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии в термодинамических процессах.

Количество теплоты , сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии и на совершение системой работы :

.