3.6.Закон сохранения механической энергии

 Закон сохранения механической энергии для одного тела.

Пусть тело движется под действием консервативной силы . При этом работа осуществляется за счет убыли потенциальной энергии . С другой стороны работа этой силы равна приращению кинетической энергии тела . Следовательно,

,

т.е. изменения механической энергии нет.

Таким образом, если на материальную точку действуют только консервативные силы, то ее полная механическая энергия E не меняется:

— закон сохранения механической энергии для одного тела.

 Закон сохранения энергии системы материальных точек.

Полная механическая энергия системы N материальных точек определяется формулой:

,

где — сумма кинетических энергий материальных точек,

— их потенциальная энергия.

В замкнутой системе тел без диссипативных взаимодействий полная механическая энергия не меняется, хотя в системе возможны переходы энергии из одной формы в другую:

.

3.7. Соударения

Соударением (ударом) называются кратковременные взаимодействия, при которых силы взаимодействия так велики, что внешними силами можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела, как замкнутую систему.

 Абсолютно неупругий удар.

При таком ударе тела объединяются и движутся как целое тело.

Выберем систему отсчета связанную с центром инерции. Тогда, по закону сохранения импульса, импульс тел после удара, а следовательно, и их скорость, кинетическая энергия будут равны нулю. Кинетическая энергия не упруго соударяющихся тел переходит во внутреннюю энергию.

 Абсолютно упругий удар.

После такого удара тела полностью восстанавливают свою форму и объем.

● Рассмотрим соударение двух упругих шаров массами .

Рис. 3.7.1

До соударения большой шар покоиться, малый движется со скоростью и импульсом (рис 3.7.1). При ударе систему считаем замкнутой, поэтому удар описывается системой уравнений:

1. — закон сохранения импульса.

2. — закон сохранения энергии.

●

Рассмотрим центральный удар, в котором события происходят на одной прямой.

Тогда в проекциях на направление :

1) , 2) .

Разделив второе уравнение на первое, получаем . Подставляя в первое уравнение, получаем скорость налетавшего шара после удара:

.

Если массы шаров равны , налетающий шар останавливается, второй — движется с его скоростью. Если шар ударяется о стенку , — шар отскакивает с начальной скоростью.

Глава 4. Механика вращательного движения

4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции.

Рис. 4.1.1

 Вывод кинетической энергии вращательного движения.

Тело массой вращается со скоростью вокруг оси ОО'.

Разобьем тело на материальных точек (рис. 4.1.1).

, — масса и скорость – ой материальной точки,

— длина перпендикуляра, соединяющего ось вращения с –ой материальной точкой.

Кинетическая энергия системы материальных точек определяется суммой кинетических энергий этих точек:

.

Линейная скорость –ой материальной точки . Так как угловая скорость одинакова для всех точек, то

.

Момент инерции I, кг м² — тела относительно выбранной оси вращения это сумма:

.

Момент инерции является мерой инертности тел во вращательном движении. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения массы относительно оси вращения.

Таким образом кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой:

аналогично, .

 Моменты инерции тел правильной геометрической формы.

● Рассмотрим момент инерции материальной точки или кольца или пустого цилиндра с массой и радиусом :

.

● В диске (сплошной однородный цилиндр) часть массы смещена к оси вращения, поэтому его момент инерции уменьшается:

.

● Момент инерции шара по той же причине меньше, чем у диска:

.

Теорема Штейнера. В теоретической механике доказывается, что кинетическую энергию любого движения твердого тела можно представить в виде суммы кинетической энергии центра инерции и кинетической энергии вращения тела относительно оси, проходящей через центр инерции:

.

В

Рис. 4.1.2

ращение тела c угловой скоростью вокруг произвольной оси aa' можно представить, как вращение вокруг этой оси центра инерции и вращение с этой же угловой скоростью самого тела вокруг оси oo' параллельной заданной и проходящей через центр инерции (рис 4.1.2). Поэтому, учитывая

Момент инерции тела относительно произвольной оси aa' равен сумме моментов инерции центра инерции относительно этой оси и момента инерции тела относительно оси oo' параллельной заданной и проходящей через центр инерции.

Рис. 4.2.1

4.2. Механическая работа вращательного движения. Момент силы.

 Вывод формулы механической работы вращательного движения.

Пусть тело под действием силы поворачивается на бесконечно малый угол . Перейдем в определении работы к угловым переменным.

— расстояние от оси вращения до точки приложения силы,

—угол между направлением перемещения и силой, — линия действия силы,

— плечо силы.

Элементарная работа .

По определению радиана .

Тогда .

Рис. 4.2.2

Элементарная механическая работа вращательного движения равна произведению момента силы на угловое перемещение :

аналогично, .

 Момент силы — Н∙м — вектор, направленный по оси вращения (правило правого винта), характеризует силовое взаимодействие тел при вращательном движении, равен произведению силы на плечо (рис 4.2.2):

.

 – плечо силы — длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Механическая мощность вращательного движения. Мощность — — скорость совершения работы.

.

Таким образом, аналогично, .