3.4. Определение эффективных модулей сдвига

Эффективные модули сдвига являются коэффициентами, связывающими макроскопические касательные напряжения и макроскопические сдвиги:

(3.4.1)

Для определения эффективного модуля сдвига необходимо решить задачу о поперечном сдвиге ячейки периодичности однонаправленного волокнистого композита (плоское деформированное состояние).

Определение эффективных модулей сдвига сво­дится к решению задач о продольном сдвиге ячейки периодичности (антиплоское деформированное состояние).

3.4.1. Антиплоская деформация гетерогенной ортотропной среды. В случае антиплоской деформации вектор перемещения имеет вид:

(3.4.2)

При помощи соотношений Коши (1.1.5) определим тензор малых деформаций e:

(3.4.3)

Вычислим тензор напряжений , считая среду ортотропной:

(3.4.4)

Тензор напряжений представим в виде:

, (3.4.5)

где ввели в рассмотрение некоторый “вектор напряжений” (не путать с вектором напряжений , определяемым формулой Коши: ):

(3.4.6)

Наконец, определим “тензор модулей сдвига” G:

, (3.4.7)

тогда вектор напряжений принимает вид:

(3.4.8)

Уравнения равновесия при отсутствии объемных сил в случае антиплоской деформации запишутся так:

(3.4.9)

К системе уравнений (3.4.9), определяющих поведение гете­рогенной ортотропной среды в точках ее объема V, добавим условия на ограничивающей ее цилиндрической поверхности S – граничные условия (1.1.2), (1.1.3):

(3.4.10)

, (3.4.11)

где – заданное перемещение, – заданное поверх­ностное усилие, направленное вдоль образующих и равномерно распределенное вдоль образующих.

3.4.2. Статико-температурная аналогия. Уравнение равновесия в случае антиплоской деформации (3.4.9) является квазигармоническим уравнением. Из теорий обобщенной проводимости известно, что квазигармоническим уравнением описываются также стационарная теплопроводность, электро­статика, магнитостатика. Следовательно, для решения задач об антиплоской деформации гетерогенной ортотропной среды можно применить вычислительные программы, предназначенные для определения стационарных температурных полей в гете­рогенной ортотропной среде. До применения вычислительных программ нужно установить статико-температурную аналогию – таблица 3.1.

Таблица 3.1

Статико-температурная аналогия

Упругость. Антиплоская деформация	Стационарная теплопроводность
Перемещение:	Температура: T
Вектор напряжений:	Вектор плотности теплового потока: q
Тензор модулей сдвига:	Тензор коэффициентов тепло­проводности:
Определяющие соотношения (обобщенный закон Гука):	Определяющие соотношения (закон Фурье):
Уравнения равновесия:	Уравнение стационарной теплопроводности:
Кинематические граничные условия:	Условия Дирихле:
Статические граничные условия:	Условия Неймана:

3.4.3. Эффективные модули сдвига. Для определения эффективного модуля сдвига решим задачу о поперечном сдви­ге ячейки периодичности, находящейся в плоском деформированном состоянии. Зададим кинематико-статические гранич­ные условия, принимая во внимание симметрию ячейки периодичности, антисимметрию внешнего воздействия и используя установленные ранее свойства четности-нечетности компонен­тов вектора перемещения и тензора напряжений:

;

(3.4.12)

Вычислим средний тензор микродеформаций и средний тензор микронапряжений :

(3.4.13)

(3.4.14)

Используя соотношения (3.4.1), (3.4.13), (3.4.14), получим:

(3.4.15)

Для определения эффективных модулей сдвига решим две задачи о продольном сдвиге ячейки перио­дичности (антиплоское деформированное состояние). Зада­дим смешанные граничные условия, принимая во внимание симметрию ячейки периодичности, антисимметрию внешнего воздействия и используя свойства четности–нечетности:

Задача (1) – определение модуля сдвига :

;

(3.4.16)

Вычислим средний тензор микродеформаций и средний тензор микронапряжений :

(3.4.17)

(3.4.18)

Эффективный модуль, сдвига :

(3.4.19)

Задача 2 – определение модуля сдвига :

;

(3.4.20)

Эффективный модуль сдвига :

(3.4.21)