2.4. K вопросу о постановке граничных условий

Рассматривается однонаправленный волокнистый упругий ^:композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого идеально связаны между собой.

2.4.1. “Полностью совместный” композит. Композит будем называть “полностью совместным”, если на поверхностях сопряжения отдельных ячеек периодичности выполняются условия:

1. Кинематическая совместность

(2.4.1)

– непрерывность вектора перемещения при переходе через поверхность сопряжения (квадратные скобки обозначают скачок функции);

2. Статическая совместность

(2.4.2)

– непрерывность вектора напряжения при переходе через поверхность сопряжения.

Замечание. Если поверхность сопряжения ячеек периодичности не является границей раздела двух фаз композита, то выполняется условие:

(2.4.3)

– непрерывность всех компонентов тензора напряжений s при переходе через поверхность сопряжения.

2.4.2. Требования, предъявляемые к граничным условиям. Проблема определения эффективных упругих характеристик сводится к решению ряда задач при определенных граничных условиях:

1. Поперечное растяжение ячейки периодичности (плоская деформация);

2. Поперечный^: сдвиг ячейки периодичности (плоская деформация);

3. Продольный сдвиг ячейки периодичности (антиплоская деформация).

Граничные условия на поверхности, ограничивающей гетерогенную ячейку периодичности, должны удовлетворять требованиям:

1. В гомогенной ячейке периодичности возникает однородное напряженно-деформированное состояние;

2. Средний по объему ячейки периодичности упругий потенциал равен “эффективному” упругому потенциалу для ячейки периодичности;

3. Из деформированных ячеек периодичности можно собрать “полностью совместный” композит; при переходе через поверхность сопряжения, не являющуюся границей раздела двух фаз композита, непрерывны всё компоненты тензора напряжений.

Если граничные условия удовлетворяют требованиям 2, 3, то они удовлетворяют и требованию:

4. Средний по объему композита упругий потенциал равен “эффективному” упругому потенциалу, вычисленному для всего композита в целом.

2.4.3. О граничных условиях, необходимых для создания плос­кого (антиплоского) деформированного состояния. Пусть ячей­ка периодичности однонаправленного волокнистого композита имеет объем и ограничена поверхностью S.

Для создания плоского деформиpoвaннoгo состояния в задачах о поперечном растяжении и поперечном сдвиге задаются граничные условия:

(2.4.4)

Для создания антиплоского деформированного состояния в задаче о продольном сдвиге задаются граничные условия:

(2.4.4)

В дальнейшем обсуждаются лишь граничные условия на боковой поверхности ячейки периодичности ; граничные условия, необходимые для создания плоского (антиплоского) деформированного состояния заключаются в скобки.

2.5. Постановка граничных условий

2.5.1. Принцип суперпозиции Кюри. Свойства объекта, находящегося под влиянием внешнего воздействия, определяются принципом суперпозиции П. Кюри [20–23]:

“Если явления и воздействия или различные внешние воздействия накладываются друг на друга, образуя единую систему, то их диссиметрии (нарушения симметрии) суммируются; в результате остаются лишь общие элементы симметрии”.

Из принципа суперпозиции Кюри следует, что напряженно-деформированному состоянию ячейки периодичности, находящей­ся под влиянием внешнего воздействия, присущи только те элементы симметрии, которые являются общими для ячейки в отсутствии внешнего воздействия и для внешнего воздействия в отсутствии ячейки периодичности.

В задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности группа симметрии ячейки совпадает с группой симметрии внешнего воздействия: , причем группы симметрии сос­тоят из элементов (2.1.2). В качестве системы образующих выбираем преобразования R_i – именно эти преобразования ис­пользуются для анализа кинематических и статических гранич­ных условий Хашина – Розена и синтеза новых граничных условий в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности.

2.5.2. Пропорциональность перемещений, деформаций и напря­жений внешнему воздействию. Если в какой-либо линейной за­даче теории упругости изме­нить значения граничных перемещений, поверхностных и объем­ных сил в одном и том же отношении

,

то перемещения, деформации и напряжения изменятся в том же самом отношении:

Задание æ = – 1 характеризует смену знака у внешних воздей­ствий, что влечет за собой смену знака у полей перемещений, деформаций и напряжений.

Наряду с преобразованиями симметрии (отражениями) R_i введем в рассмотрение преобразования – отражения от плоскостей симметрии Х_i = 0 с последующей сменой знака у внешнего воздействия. Преобразования используются для анализа кинематических и статических граничных условий Хашина – Розена и синтеза новых граничных условий в за­дачах о поперечном и продольном сдвиге.

2.5.3. Алгоритм построения граничных условий. Для опреде­ления эффективных упругих характеристик нужно решить ряд задач при граничных условиях, удовлетворяющих требованиям (2.4.2).

На основе

• принципа суперпозиции Кюри;

• пропорциональности перемещений, деформаций и напряжений внешнему воздействию;

• анализа кинематических и статических граничных условий Хашина – Розена

предлагается следующий алгоритм построения граничных условий, удовлетворяющих требованиям (2.4.2).

0. Рассматриваем однонаправленный волокнистый упругий композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого идеально связаны между собой. Поверхности сопряжения ячеек состоят из ортогональных плоскостей. Плоскос­ти сопряжения не являются границей раздела двух фаз компонента.

1. При помощи таблиц инвариантности 2.3 и 2.2 выяс­няем инвариантность компонентов вектора перемещения V и тензора напряжений t относительно преобразований :

• поперечное растяжение

(2.5.1)

5.2)

• поперечный сдвиг; продольный сдвиг

2.5.3)

(2.5.4)

неинвариантные относительно преобразований компоненты меняют знак. Устанавливаем свойства четности-нечетности компонентов вектора перемещения V.

0. На плоскостях сопряжения задаем нормальную или касательную составляющую вектора перемещения u, которая является неинвариантной относительно преобразований P_i; например, для ячейки периодичности с идентификатором (0,0):

– поперечное растяжение;

– поперечный сдвиг; продольный сдвиг;

– создаем однородное напряженно-деформированное состояние в гомогенной ячейке периодичности. Оставшиеся неинвариантные относительно преобразований P_i компоненты вектора u полагаем равными нулю.

0. Неинвариантные относительно преобразований P_i компоненты тензора напряжений , которые на соответст­вующей плоскости сопряжения являются компонентами вектора напряжения , полагаем равными нулю. Убеждаемся, что неинвариантные компоненты тензора напряжений , которые на соответствующей плоскости сопряжения не являются компо­нентами вектора напряжения , также равны нулю (на плоскостях сопряжения ячеек периодичности выполняется равенство ).

В результате указанных действий формируются гранич­ные условия, удовлетворяющие требованиям 2.4.2. В задачах о поперечном растяжении и поперечном сдвиге (плоская де­формация) получаются кинематико-статические граничные условия, а в задаче о продольном сдвиге (антиплоская деформация) – смешанные граничные условия. Заметим, что наименование граничных условий учитывает постановку задачи.