Основные параметры конечно-элементных моделей

и систем конечно-элементных уравнений

Модель	n	b	p
М–8/64/221	442	214	23759
М–8/256/825	1650	806	171691

Решим указанную задачу, принимая . Компоненты среднего тензора микронапряжений представлены в таблице 4.5.

Определим эффективные модули Юнга и коэффициенты Пуассона, используя соотношения (3.1.9), (3.1.10), (4.2.1) и средние напряжения из таблицы 4.5 (модель М–8/256/825):

Рис. 4.3. Конечно-элементная модель М–8/256/825

Таблица 4.5

Средние напряжения в задаче о поперечном растяжении (МПа)

Модель
М–8/64/221	30,79	10,87	15,12
М–8/256/825	31,19	11,00	15,31

4.2.3. Эффективные коэффициенты линейного температурного расширения. Решим задачу о равномерном нагреве ячейки периодичности при задании кинематико-статических граничных условий (3.2.3). Используем КЭ-модель 2-го уровня – М-8/256/825. Компоненты среднего тензора микронапря­жений имеют следующие значения:

Используя соотношения (3.2.5), определим эффективные коэффициенты линейного температурного расширения:

4.2.4. Эффективные модули сдвига. Для определения эффективного модуля сдвига решим задачу о поперечном сдвиге ячейки периодичности, находящейся в плоском деформированном состоянии, при задании кинематико-статических граничных условий (3.4.12). Используя соотношение (3.4.15), определим эффективный модуль сдвига .

Для определения эффективного модуля сдвига решим задачу о продольном сдвиге ячейки периодичности (антиплоское деформированное состояние) при задании смешан­ных граничных условий (3.4.16). Используя соотношение (3.4.19), определим эффективный модуль сдвига .

Эффективные модули сдвига для рассматриваемой макроско­пически трансверсально-изотропной гетерогенной среды имеют следующие значения:

4.3. Некоторые оценки и методы определения эффективных характеристик. Сравнительный анализ

4.3.1. Макроскопически изотропная гетерогенная среда. В приближении, предложенном Фойгтом (Voight W., 1910), предполагается, что гетерогенная среда находится в однород­ном деформированном состоянии, что приводит к осреднению тензора упругих модулей:

(4.3.1)

В подходе Рейсса (Reuss A., 1929) предполагается, что гетерогенная среда находится в однородном напряженном состоянии и осредняется тензор упругих податливостей:

(4.3.2)

Исходя из энергетических соображений, Р. Хилл (Hill R., 1952) показал, что подход Фойгта дает верхнюю оценку уп­ругих модулей композита, а подход Рейсса – нижнюю оценку:

(4.3.3)

Неравенства (4.3.3) носят название “вилки” Фойгта – Рейсса. Для двухкомпонентного упругого композита с изотропными мат­рицей и включениями оценки Фойгта – Рейсса имеют вид:

(4.3.4)

, (4.3 5)

где – модуль объемного сжатия, – модуль сдвига.

Принимая во внимание соотношение , легко убедиться, что для модуля Юнга имеют место неравенства:

(4.3.6)

В 1962 году З. Хашином и С. Штрикманом [37] был предложен вариационный метод определения эффективных характеристик, целью которого являлось сужение вилки Фойгта – Рейсса, которая оказывалась весьма “широкой” для многих упругих композитов. Для двухкомпонентного упругого композита с изотропными компонентами результаты Хашина – Штрикмана имеют вид :

(4.3.7)

(4.3.8)

(4.3.9)

4.3.10)

(4.3.11)

(4.3.12)

В формулах (4.3.9)–(4.3.12) предполагается, что включе­ния являются более жесткими, чем матрица .

4.3.2. Макроскопически трансверсально-изотропная гетероген­ная среда. Простейший способ расчета эффективных характе­ристик волокнистых композитов предложен В.В. Болотиным [27, 12]. Этот способ основывается на допущениях:

– в матрице и волокнах напряженно-деформированное состояние однородное;

– продольные деформации в матрице и волокнах одинаковые;

– поперечные компоненты тензора напряжений в матрице и волокнах равны.

Принимая эти допущения, можно получить следующие формулы для эффективных характеристик (некоторые члены, имеющие порядок квадрата от коэффициентов Пуассона по срав­нению с единицей, отброшены):

(4.3.13)

– ось 3 (L) направлена вдоль волокон, оси 1,2 (Т) расположены в плоскости, перпендикулярной к оси 3.

Эффективные упругие модули, полученные на основе упрощенного анализа механического поведения волокнистых композитов, приводятся также в работах Д.С. Аболиньша [28], B.Л. Бидepмaнa [29], A.M. Cкyдpы c сoaвтopaми [30, 31] и других.

Эффективные характеристики волокнистых композитов можно определить исходя из точного решения краевой задачи теории упругости о деформации упругого тела с регулярными упругими включениями. Систематическое исследование волокнистых композитов с применением двоякопериодических функций (эллиптических функций Вейерштрасса) можно найти в работах Г.А. Ван Фо Фы (Ванина) [8, 38, 39, 40]. Преимущество данного подхода состоит в том, что он позволяет не только определить эффективные модули, но и выяснить харак­тер напряженного состояния в микроне однородной среде. Но есть и существенное ограничение – точные решения удается получать сравнительно редко, лишь для простых в геометри­ческом отношении гетерогенных сред.

Вариационные оценки эффективных характеристик для волокнистых композиционных материалов были получены Р. Хиллом [41] и 3. Хашином и В. Розеном [15]. Эти оценки являются наилуч­шими возможными при произвольной геометрии фаз:

;

(4.3.14)

,

где k – модуль объемного сжатия при плоском деформированном состоянии (для изотропного материала: ).

(4.3.15)

(4.3.16)

(4.3.17)

(4.3.18)

4.3.2. Сравнительный анализ. Весьма интересно сравнить эффективные упругие характеристики, полученные в результате конечно-элементного анализа, с эффективными упругими характеристиками, полученными ранее другими авторами [4–8, 12–15, 27–31, 37–41]. Сравнение проведем для макроскопически трансверсально-изотропной гетерогенной среды, описанной в параграфе 4.2 (представительный элемент объема изображен на рис.4.2, свойства компонентов представлены в таблице 4.1, объемные концентрации компонентов: ).

В таблице 4.6 приведены эффективные модули Юнга . Наряду с результатами, полученными для макроскопически трансверсально-изотропной среды, представлены оценки Фойгта – Рейсса (4.3.1)–(4.3.6) и Хашина – Штрикмана (4.3.7)–(4.3.12), справедливые для макроскопически изотропной гетерогенной среды. Таблица 4.7 содержит эффек­тивные коэффициенты Пуассона, таблица 4.8 – эффективные модули сдвига.

Отметим, что все конечно-элементные эффективные упругие характеристики находятся между нижним и верхним значениями “вилки” Хилла – Хашина – Розена (4.3.14)–(4.3.18) (значения , определенные по формулам Болотина – Бидермана (4.3.13), не попадают в указанную вилку).

Таблица 4.6

Эффективные модули Юнга

Автор	Год	Работа
В. Фойгт	1910		7,705	7,705
З. Хашин, С. Штрикман	1962	[37]	3,674	3,674
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	7,450	5,211
В. Болотин, В. Бидерман	1966 1965	[27, 12] [29]	7,448	1,006
А. Скудра и др.	1971	[30, 31]	7,448	1,956
Г. Ван Фо Фы (Ванин)	1966	[38, 8]	7,448	1,440
А. Боровков	Настоящая работа		7,448	2,606
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	7,448	1,138
З. Хашин, С. Штрикман	1962	[37]	1,093	1,093
А. Рейсс	1929		1,031	1,031

Таблица 4.7

Эффек­тивные коэффициенты Пуассона

Автор	Год	Работа
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	–	–	0,3647
В. Болотин, В. Бидерман	1966 1965	[27, 12] [29]	0,3968	0,0490	0,3660
А. Скудра и др.	1971	[30, 31]	–	0,0960	0,3660
А. Боровков	Настоящая работа		0,2902	0,1270	0,3628
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	–	–	0,3547

Таблица 4.8

Эффективные модули сдвига

Автор	Год	Работа
В. Фойгт	1910		2,756	2,756
З. Хашин, С. Штрикман	1962	[37]	2,241	2,241
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	1,997	2,148
В. Болотин, В. Бидерман	1966 1965	[27, 12] [29]	0,3597	0,3597
А. Скудра и др.	1971	[30, 31]	0,5343	0,6786
Г. Ван Фо Фы (Ванин)	1966	[38, 8]	0,4334	0,5580
А. Боровков	Настоящая работа		0,4665	0,6897
Р. Хилл, З. Хашин, В. Розен	1964 1964	[41] [15]	0,3248	0,3470
З. Хашин, С. Штрикман	1962	[37]	0,6134	0,6134
А. Рейсс	1929		0,3597	0,3597

В таблице 4.9 сравниваются эффективные свойства макроскопически трансверсально-изотропной гетерогенной среды (ячейка периодичности изображена на рис.4.2) и макроско­пически ортотропной гетерогенной среды (ячейка периодич­ности изображена на рис.2.1). Эти гетерогенные среды являются в некотором смысле “эквивалентными”: свойства матрицы и волокон – одинаковы; объемные концентрации компонентов – близки.

Таблица .4.9

Эффективные термоупругие свойства

		Макроскопически трансверсально-изотропная гетерогенная среда	Макроскопически ортотропная гетерогенная среда
	МПа	2,606 ×10^4	2,623 ×10^4
	МПа	2,606 ×10^4	2,928 ×10^4
	МПа	7,448 ×10^4	6,890 ×10^4
	–	0,2902	0,2825
	–	0,1270	0,1529
	–	0,3628	0,3634
	МПа	0,4665 ×10^4	0,5743 ×10^4
	МПа	0,6897 ×10^4	0,8336 ×10^4
	МПа	0,6897 ×10^4	0,6485 ×10^4
	K^–1	2,809 ×10^–5	3,238 ×10^–5
	K^–1	2,809 ×10^–5	2,857 ×10^–5
	K^–1	1,732 ×10^–5	1,790 ×10^–5