2.3. Анизотропные тела и макроскопически анизотропные среды (принцип Неймана)

Для кристаллов связь между симметрией структуры и симметрией физических свойств устанавливается принципом Ф. Неймана (основной закон кристаллофизики) [20–23]:

“Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла”.

Из принципа Неймана следует, что физические свойства (в том числе упругие свойства) инвариантны относительно преобразований^: симметрии, свойственных кристаллу – всякое преобразование симметрии кристалла является преобразованием симметрии и для его физических свойств. Важно отметить, что принцип Неймана распространяется и на тела, не являющиеся кристаллами, но обладающие симметрией структуры – микронеоднородные тела [3].

Характерными особенностями кристаллов являются однородность, анизотропия и симметрия физических свойств, обуслов­ленные симметрией их внутреннего строения. В случае микронеоднородных тел будем говорить о макроскопической гомоген­ности, макроскопической анизотропии и симметрии макроскопи­ческих (эффективных) физических свойств, обусловленных симметрией структуры микронеоднородных тел.

Анизотропные тела (кристаллы) и макроскопические анизотропные среды в зависимости от их структуры делятся на три категории (низшую, среднюю, высшую), семь систем (сингоний): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную, кубическую и 32 класса симметрии. Введенные ранее преобразования симметрии (2.1.2) позволяют полностью характеризовать только низшую категорию: триклинную, моноклинную и ромбическую системы.

Триклинная система (2 класса). Характерными преобразованиями симметрии являются тождественное преобразование и преобразование инверсии. Из таблицы инвариантности 2.1 следует, что тензор модулей упругости (тензор упру­гих податливостей ) и тензор эффективных модулей упругости (тензор эффективных упругих податливостей ) содержат по 21 независимому компоненту (если следовать Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицу [24], тогда 21 независимым ком­понентом, характеризующим упругие свойства, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориента­цию осей в кристалле или микронеоднородном теле).

Моноклинная система (3 класса). Характерным преобразованием симметрии является любое из вращений или любое из отражений R_i. Из таблицы инвариантности 2.1 следует, что тензоры модулей упругости и содержат по 13 независимых компонентов (по Ландау и Лифшицу – 12 отличных от нуля модулей и один угол, определяющий ориентацию осей, перпендикулярных оси вращения Х_i или осей в плоскости отражения ).

Ромбическая система (3 класса). Характерными преобразованиями симметрии являются любые два вращения или любые два отражения R_i. Из таблицы инвариантности 2.1 следует, что выбором любых двух вращений или любых двух отражений R_i число модулей упругости уменьшается до 9. Добавление третьего вращения или третьего отражения уже не приводит к дальнейшему сокращению числа независимых компонентов тензоров и . Группа симметрии с элементами (2.1.2) характеризует ромбически-дипирамидальный класс (название класса дано по Гроту); такое же название принято и в литературе по механике сплошных сред [25, 26].

Тело, обладающее тремя ортогональными плоскостями упругой симметрии в каждой точке, называется ортотропным. Уравнения обобщенного закона Гука для ортотропного тела имеют вид (1.1.7).

К средней категории относятся тригональная, тетрагональная и гексагональная системы.

Тригональная система (5 классов). Преобразованием симметрии, характеризующим данную систему, является вращение . Число независимых упругих модулей – 7 или 6, в зависимости от принадлежности к тому или иному классу.

Тетрагональная система (7 классов). Характерным преобразованием симметрии является вращение . Число независи­мых упругих модулей – 7 или 6, в зависимости от класса.

Гексагональная система (7 классов). Преобразованием сим­метрии, характеризующим данную систему, являются вращение . Число независимых упругих модулей – 5 во всех классах симметрии.

Рассмотрим тело, упругие свойства которого инвариантны относительно преобразования – вращение вокруг оси Х_i на угол j. Такое тело называется трансверсально-изотропным [16,3]. Тензор модулей упругости трансверсально-изотропного тела и тензор эффективных модулей упругости макроскопически трансверсально-изотропной гетерогенной среды со­держат по 5 независимых упругих модулей.

Кубическая система (5 классов). Данная система принадлежит к высшей категории; характерными преобразованиями симметрии являются четыре вращения . Тензоры модулей упругости и содержат по 3 независимых компонента.

Рассмотрим тело, упругие свойства которого инвариантны относительно двух преобразований – , (оси Х_i и Х_j взаимно ортогональные оси). Инвариантность относительно третьего вращения не приводит к дальнейшему уменьшению числа упругих модулей (0Х_i Х_j Х_k ­– ортогональная система координат). В рассматриваемом теле упругие свойства одинаковы во всех направлениях. Тензоры модулей упругости и содержат по 2 независимых компонента.