4.4. Макроскопически ортотропная пятифазная гетерогенная среда. Эффективные коэффициенты теплопроводности

4.4.1. Свойства компонентов. Эффективный коэффициент тепло­проводности в направлении волокон. Рассмотрим однонаправлен­ный волокнистый композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого находятся в идеальном тепловом контакте. Представительный элемент объема (ячейка периодичности) рассматриваемой гетерогенной среды изображен на рис.4.4.

Рис. 4.4. Представительный элемент объема (ячейка периодичности)

Гетерогенная среда состоит из пяти фаз (компонентов). Свойства матрицы m и включений (коэффициент теплопроводности K, теплоемкость единицы массы с, плотность мате­риала r) приведены в таблице 4.10; там же приведены объемные концентрации компонентов. Заметим, что среда является существенно гетерогенной:

Используя данные таблицы 4.10, определим эффективный коэффициент в направлении волокон (3.3.11):

– оценка Лихтенеккера [32–35].

Для определения макроскопических нестационарных темпера­турных полей в рассматриваемой гетерогенной среде необходимо определить эффективную плотность и эффективную теплоемкость единицы массы , которые являются аддитивными величинами и вычисляются по формулам (правила смесей):

,

где n_c = 5 – число компонентов композиционного материала.

Таблица 4.10

Свойства компонентов

	K	c	r	u
	Вт/м×К	Дж/кг×К	кг/м^3	–
m	0,1600	1,025 ×10^3	1,400 ×10^3	0,1610
f1	0,3600	0,921 ×10^3	1,700 ×10^3	0,0260
f2	0,3600	1,150 ×10^3	1,600 ×10^3	0,0790
f3	4,000 ×10^2	0,386 ×10^3	8,900 ×10^3	0,6300
f4	0,1550	5,200 ×10^3	1,215	0,1040

4.4.2. Эффективные коэффициенты теплопроводности. Для конеч­но-элементного решения задач (1) и (2) о двумерном стацио­нарном распределении температуры в ячейке периодичности при задании граничных условий (3.3.12) и (3.3.15) используем следующие конечно-элементные модели:

1.1. М–4/216/253 – исходная КЭ-модель;

1.2. М–4/864/938 – КЭ-модель, полученная из модели 1.1 делением каждого конечного элемента на четыре (“h”-сходимость);

1.3. М–8/216/722 – КЭ-модель, полученная из модели 1.1 заменой каждого линейного конечного элемента на квадратичный (“p”-сходимость);

1.4. М–4/324/373 – КЭ-модель, полученная из модели 1.1 сгущением конечно-элементной сетки в области высоких градиентов температуры;

1.5. M–4/1296/1394 – КЭ-модель, полученная из модели 1.4 делением каждого конечного элемента на четыре (“h”-сходимость).

Решим указанные задачи. В таблице 4.11 представлены ос­новные параметры используемых конечно-элементных моделей и со­ответствующих им систем конечно-элементных уравнений.

Коэффициент теплопроводности компонента f₃ превосходит коэффициенты теплопроводности других компонентов более, чем в тысячу раз – матрицы А систем конечно-элементных уравнений, по-видимому, являются плохо обусловленными.

Для суждения о точности полученных конечно-элементных решений оценим числа обусловленности cond (А) конечно-элементных матриц. В таблице 4.11 приводятся практические оценки чисел обусловленности cond (А), получение этих оценок основано на применении итерационного уточнения решения [42, 43, 44].

Таблица 4.11

Основные параметры конечно-элементных моделей и систем конечно-элементных уравнений; эффективные коэффициенты K₁, K₂, Вт/м×К

Модель	b	p	Cond (A)	K
M–4/216/253	166	4659	0,114 ×10^6	K1=1,049 K2=2,002
М–4/864/938	612	31510	0,437 ×10^6	K1=1,039 K2=2,041
M–8/216/722	474	35817	0,562 ×10^6	K1=1,040 K2=1,987
М–4/324/373	244	7821	0,165 ×10^6	K1=1,065 K2=2,006
M–1/1296/1394	912	54340	0,589 ×10^6	K1=1,058 K2=2,014

Известно [45], что число правильных значащих цифр в решении системы линейных алгебраических уравнений представляется следующей эмпирической формулой:

,

где – число правильных десятичных знаков в коэффициентах матрицы А. Следовательно, полученные с одинарной точностью ( ) конечно-элементные решения содержат лишь по 1–2 правильной значащей цифре. Для получения 5 правильных значащих цифр применяем итерационное уточнение Уилкинсона, вычисляя невязки с двойной точностью.

На основе “хороших” конечно-элементных решений по форму­лам (3.3.14) и (3.3.16) вычисляем эффективные коэффициен­ты теплопроводности. Из таблицы 4.11 следует, что эффективные коэффициенты теплопроводности, полученные с помощью различных конечно-элементных моделей, отличаются друг от друга в третьей значащей цифре. В качестве “истинных” эффективных коэффициентов теплопроводности примем средние арифметические значения:

4.4.3. Термическое сопротивление. Приближенное определение эффективных коэффициентов теплопроводности. Рассмотрим однородную изотропную плоскую стенку с поперечным сечением S и толщиной h из материала с коэффициентом теплопроводности K. На наружных плоскостях стенки зададим температуры T₀ и T_h.

Закон теплопроводности Фурье запишем в форме, аналогичной закону Ома в электротехнике:

,

где Q – тепловой поток (аналог электрического тока); – перепад температур (термический потенциал); – термическое сопротивление плоской стенки.

Рассмотрим упрощенную модель части представительного элемента объема, изображенного на рис. 4.4. Данная модель (рис. 4.5) состоит из шести прямоугольников ( ; ; ).

Зададим граничные условия:

Возникающее стационарное температурное поле является двумерным.

Для определения эффективного коэффициента теплопроводности сделаем некоторые допущения.

1. Предположим, что изотермы являются прямыми и параллель­ными (теплопроводность компонентов в направлении, перпендикулярном тепловому потоку бесконечна).

Рис. 4.5. Упрощенная модель части представительного элемента объема

Разделим модель на части при помощи изотермических плос­костей. Эквивалентная схема соединения термических сопротивлений представлена на рис 4.6.а. Общее термическое сопротивление рассматриваемой модели определяется выражением:

,

где термические сопротивления отдельных частей модели определяются по формуле (4.4.2), например: ; эффективный коэффициент теплопроводности выражается через следующим образом: .

Используя данные таблицы 4.10, получим:

2. Предположим, что линии теплового потока являются прямы­ми и параллельными (теплопроводность компонентов исчезающе ма­ла в направлении, перпендикулярном тепловому потоку).

Разделим модель на части при помощи адиабатических плоскос­тей. Эквивалентная схема соединения термических сопротивлений представлена на рис.4.6.б. Общее термическое сопротивление рас­сматриваемой модели определяется выражением:

Эффективный коэффициент теплопроводности выражается через следующим образом: .

Рис. 4.6. Эквивалентная схема соединения термических сопротивлений

Используя данные таблицы 4.10, получим:

На основании изложенных в работе [32] результатов в качестве истинного значения эффективного коэффициента теплопро­водности примем среднее арифметическое значение коэффициен­тов теплопроводности, определяемых при делении модели изотер­мическими и адиабатическими плоскостями:

Аналогичным путем определяются коэффициенты теплопровод­ности , и эффективный коэффициент теплопроводности :

Отметим, что приближенные значения эффективных коэффициентов теплопроводности полученные в результате упрощенного анализа, отличаются от “точных” конечно-элементных эффективных коэффициентов и не более, чем на 5% и 18%, соответственно.

Замечание. Изложенный приближенный способ определения коэффициентов “обобщенной” проводимости, основанный на принципе обобщенной проводимости [32, 33], может быть с успехом применен и для определения эффективных модулей сдвига .

68