Арифметическое среднее

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодезических измерениях одинаковой точности, за окончательный результат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.

Если измерена одна и та же величина n раз и получены результаты: l₁, l₂, l₃, …, l_n, то

= [1]

Величина называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Сумма в числителе обозначена квадратными скобками, как это принято в теории погрешностей по Гауссу.

Поскольку Х есть истинное значение измеряемой величины, можно вычислить ряд соответствующих абсолютных погрешностей измерений:

∆₁= Х – l₁; ∆₂= Х – l₂; …;∆_n= Х – l_n.

Сложив правые и левые части уравнений, получим

[∆] = n Х - [l], откуда

Х=

Как следует из формулы, с увеличением числа измерений будет стремится к нулю и, следовательно, при бесконечно большом числе измерений средняя арифметическая величина будет равна истинному значению Х.

Поскольку на практике число измерений все же ограничено, то среднее арифметическое

Будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины Х, однако при всяком n арифметическое среднее считают более надежным значением измеряемой величины.

Средняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность.

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величины недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измерений, т.к. в ряде измерений может быть не отражено наличие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку последние взаимно компенсируются.

И Гаусс предложил критерий оценки точности измерений, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погрешностей ряда – среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая ошибка (погрешность) измерений – это корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей и вычисляется по формуле:

.

Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность m вычисляют по уклонениям

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

m = , где [ ²] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений, n-1 – число избыточных измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

Больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;

Больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;

Больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную:

с вероятностью ошибки равной порядка 1%.