Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сумму двух величин:

Z = x ± y,

Где x и y – независимые слагаемые.

Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном измерении обозначим соответственно ∆x, ∆y, ∆z, тогда

z+ ∆z = (x+∆x) ± (y +∆y), откуда ∆z = ∆x + ∆y.

Если каждое слагаемое было измерено n раз, то, написав n соотношений (см выше) и возведя каждое в квадрат, получим n выражений:

Сложив левые и правые части n таких уравнений и разделив затем обе части равенства на n, получим:

где [∆Х∆Y] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремиться к нулю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слагаемое равенства, получим:

В соответствии с формулой можно написать: ,

Где m_z, m_х, m_y – средние квадратические погрешности функции и аргументов.

По аналогии для алгебраической суммы n независимых величин

Z= Х₁±Х₂±… ± Х_n,

Можно записать

,

т.е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.

В частном случае, когда

m₁=m₂=...= m_n =m,

формула примет вид: m_z = m ,

т.е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего

Арифметическое среднее определяется выражением:

,

где - некоторое постоянное число. Если среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего обозначить через М, а среднюю квадратическую погрешность одного измерения через m, то согласно можно записать:

М² = , откуда М = ,

Т.е. средняя квадратическая погрешность арифметического среднего в раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений. Например, требуется определить величину угла с точностью при наличии 30-секундного теодолита. Очевидно, что если измерить угол 4 раза и определить арифметическое среднее, то его средняя квадратическая погрешность согласно составит .

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего М показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.