Теория пределов
1.Последовательность. Ограниченные последованности. Монотонные последовательности
Ограниченные
и неограниченные последовательности
В
предположении о линейной
упорядоченности множества 
элементов
последовательности можно ввести понятия
ограниченных и неограниченных
последовательностей.
Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
ограниченная
сверху 
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
ограниченная
снизу 
Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
ограниченная 
Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
неограниченная 
Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.
2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности. Свойства: Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность
,
которая является бесконечно малой.
Если же
всё
же содержит нулевые элементы, то
последовательность
всё
равно может быть определена, начиная
с некоторого номера 
,
и всё равно будет бесконечно малой.Если
—
бесконечно малая последовательность,
не содержащая нулевых членов, то
существует последовательность 
,
которая является бесконечно большой.
Если же
всё
же содержит нулевые элементы, то
последовательность
всё
равно может быть определена, начиная
с некоторого номера
,
и всё равно будет бесконечно большой.
3. Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
4. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке,предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Свойства пределов функции 1) Предел постоянной величины. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы.Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.Расширенное свойство предела суммы: Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
