13. Производная обратной функции

Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f ^-1, производная которой вычисляется по формуле

14. Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

15. Если функция   дифференцируема при всех  , то мы можем рассмотреть функцию  , сопоставляющую каждой точке   значение производной  . Эта функция   называется производной функции  , или первой производной от  . (Иногда саму исходную функцию   называют нулевой производной и обозначают тогда  .) Функция  , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках   интервала  , которую мы обозначим   и назовём второй производной функции  . Если предположить, что вторая производная   существует во всех точках  , то она может также иметь производную  , называемую третьей производной функции  , и т. д. Вообще,  -й производной функции   называется производная от предыдущей,  -й производной  :

если эта производная существует.  -я производная называется также производной  -го порядка, а её номер   называется порядком производной.

При   первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами:   или  ; при прочих   -- числом в скобках в верхнем индексе:   или  .

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная   задаёт мгновенную скорость изменения значений   в момент времени  , то вторая производная, то есть производная от  , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений  . Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения,  ).

16. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по    следует рассматривать как постоянный множитель.

[Править]Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция    имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции   выглядит следующим образом:

где  , а    произвольные приращения независимых переменных  . Приращения    рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

17. Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале Х).

 Пусть функция f(x)

1) определена на интервале Х;

2) имеет на Х конечную производную f '(x) ;

3)    f '(x)>0  ( f '(x)<0) на Х.

 Тогда f(x) является возрастающей (убывающей) на интервале Х.

Доказательство.  Рассмотрим случай, когда    f '(x)<0 на Х. Возьмем любые два значения х₁ и х₂ из Х такие, что х₁ < х₂, тогда на сегменте [х₁, х₂] f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому справедливо равенство    где  -  некоторая точка из (х₁, х₂): х₁< < х₂. Так как х₂> х₁, и  , что означает убывание функции на множестве Х.

 Для случаев   f '(x) >0 на Х доказательство проводится аналогично.

18. Необходимое условие экстремума Функция g(x) в точке  имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x  некоторой области:  , выполнено соответственно неравенство ( в случае максимума) или (в случае минимума).Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

19. 1) Первое достаточное условие: 

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки  такой, что первая  производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки  и слева от этой же точки, тогда точку  можно охарактеризовать следующим образом