- •1.Последовательность. Ограниченные последованности. Монотонные последовательности
- •5.Односторонний предел по Коши
- •7. Определение
- •8. Точки разрыва первого и второго рода
- •13. Производная обратной функции
- •14. Производная параметрически заданной функции
- •16. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •[Править]Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •2) Второе достаточное условие
- •3) Третье достаточное условие
- •Функции нескольких переменных
5.Односторонний предел по Коши
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .[1]
Односторонний предел по Гейне
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
6. 1. Бесконечно малые функции и их сравнение.
Пусть y=f1(x) и y=f2(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x0(конечному или бесконечному). Если при этом f1(x)→0 и f2(x)→0, то есть если
Это значит, что f2(x) несравненно меньше f1(x) при x→x0 (f2(x) несравненно быстрее, чем , стремится к нулю при x→x0). В этом случае говорят, что функция f2(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f1(x),при x→x0. И обозначают этот факт так:
(читается: f2(x) есть «о малое» от f1(x) при x→x0). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f2(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f1(x) при x→x0.
7. Определение
Пусть и .
Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого
Свойства
Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .
Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .
Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .
Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .
8. Точки разрыва первого и второго рода
Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называютточкой разрыва второго рода.
9. Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке,
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения.
Функция, непрерывная на отрезке , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке существуют точки такие, что
.
Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале существует точка , в которой функция обращается в нуль, т.е. . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.
Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на интервале , то на интервале существует точка , такая, что . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Теория Дифференциальной последовательности
10. 1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
11. 1) Производная константы равна нулю, т.е , где C – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е . 3) Производная произведения находится по правилу: .
4) , где - константа. 5) Производная дроби находится по правилу: .
6) Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).
7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем . Если существует обратная функция , то она имеет производную в точке и (производная обратной функции).
12. Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке . Т е о р е м а 1. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция
(1)
имеет производную (по ) в точке и справедливо равенство
(2)
или
. (3)