- •Понятие, назначение, объект и предмет информатики.
- •Этапы развития информатики.
- •Математические объекты и их происхождение. Способ определения математических объектов. Понятие множества по Кантору; место множества в иерархии математических объектов.
- •Отношение принадлежности элемента множеству; способы задания множеств.
- •Мощность множества; классификация множеств по мощности; способ установления соответствия множеств по мощности.
- •Определение подмножества; отношения множеств; собственное (строгое) подмножество. Процедура сравнения множеств.
- •Разбиение множества.
- •Дополнение множества и разность двух множеств.
- •Аксиомы о существовании единичного пустого и дополнительного множеств.
- •Определение алгебраической системы и алгебры множеств; носитель и сигнатура алгебраической системы.
- •Граф как бинарное отношение. Граф как соответствие.
- •Подходы при определении понятия информации; философский подход.
- •Определение информации по р.Хартли.
- •Понятие управления в кибернетике; контур управления и его компоненты.
- •Цепь управления и процесс воздействия источника на приемник как множество; цепи прямой и обратной связи.
- •Определение понятия сообщения; отличие сообщения от информации.
- •Виды сообщений в цепи управления; активные и пассивные сообщения.
- •Процессы управления с использованием активных и пассивных сообщений; роль человека в процессе управления.
- •Виды множеств сообщений в цепи управления.
- •Три способа управления: на основе прошлых событий, на основе диагноза, на основе прогноза.
- •Особенности и трудности отыскания основной информации и основного кода в явлениях природы и данных измерений.
- •Эффект от использования основной информации.
- •Определение понятия информирование.
- •Дискретизация сообщений по времени.
- •Квантование сообщений по уровню; шум квантования.
- •Аддитивная мера информации (мера р.Хартли).
- •Статистическая мера информации; количество информации по к.Шеннону.
- •Временная и спектральная форма описания сигнала; спектр сигнала.
- •Ряд ж.Фурье; обратное преобразование ж.Фурье для периодического сигнала
- •Ряд Котельникова и функция отчетов.
Математические объекты и их происхождение. Способ определения математических объектов. Понятие множества по Кантору; место множества в иерархии математических объектов.
Математические объекты не изобретаются математиками. Они открываются как и любые другие объекты. Открываются по мере необходимости. Математические объекты по своей природе объективны. Они определены через другие ещё более абстрактные объекты.
Понятие множеств по Кантору: Множество – это многое мыслимое нами как единое.
Множество долгое время считалось самым абстрактным объектом, пока не открыли элементы множества.
Отношение принадлежности элемента множеству; способы задания множеств.
Способы задания множества:
1 – перечисление элементов
2 – с помощью порождающей процедуры.(Задание порождающей процедуры предлагает описание неких характеристик свойств элементов.)
При этом предполагается наличие множества Х, которое по каким – то причинам должно быть изменено для задания множества У, нужно только правильно выбрать некоторые элементы исходного множества с помощью какой-то порождающей процедуры, т.е. элементы множества должны быть характеристиками.
А так же элементы множества могут принадлежать и не принадлежать множеству.
Мощность множества; классификация множеств по мощности; способ установления соответствия множеств по мощности.
Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов
множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.
Виды множеств:
1)Конечное множество (алфавиты множеств)
2)Бесконечные (с бесконечным числом элементов)
а) Бесконечные счетные
б) бесконечные континуальные(множества мощностью континуум)
Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .
Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или .
С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
Мощность декартова произведения:
Формула включения-исключения в простейшем виде:
Определение подмножества; отношения множеств; собственное (строгое) подмножество. Процедура сравнения множеств.
1) Из двух множеств одно множество является подмножеством другого, если каждый элемент является элементом другого множества. X С Y ( x X)&(x Y)
Отношение множества к подмножеству: С
2) Равество множеств: =
Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.
X=Y (X C Y)&(Y C X)
3) Несравнимость множеств: =/=
Два множества несравнимы, если каждое из них не является подмножеством другого.
X=/=Y (X C Y)& (Y C X)
4) Строгое или собственное множество: С
Из двух множеств одно является строгим, если оно подмножество другого, а другое нет.
XCY (X C Y)& (Y C X)
Определение множества-универсума и булеана; мощность булеана.
Универсум – множество которое покрывает любое из рассматриваемых множеств, не покрывает другие множества рассматриваемые в других ситуациях.
Булеан – множество всех подмножеств данного конечного множества (универсума).
Мощность булеана |B(I)| = 2|I|
Определение объединения и пересечения множеств; диаграммы Эйлера-Венна.
Объединение множеств – называется такое третье множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному. XUY = Z = {x|(x X)V(x Y)}
Пересечение множеств – такое третье множество, каждый элемент которого принадлежит как первому, так и второму. X Y = Z = {x|(x X)&(x Y)}
Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.