10. Разбиение множества.

Разбиением множества называется множество подмножеств, любая пара которых не пересекается, а полное объединение в точности даёт данное множество.

Для существования разбиения необходимо:

1) чтобы соблюдалось условие непересекаемости

2) условие полноты

3) чтобы выделенная часть являлась подмножеством общего.

11. Дополнение множества и разность двух множеств.

Дополнение произвольного множества называется множество, содержащее только те элементы универсума, которые не принадлежат данному множеству.

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. 

Свойства разности множеств:

Пусть   — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

• Свойства пустого множества относительно разности:

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

• . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).

• 

• не пересекается с вычитаемым:

Разность

• Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

12. Аксиомы о существовании единичного пустого и дополнительного множеств.

13. Определение алгебраической системы и алгебры множеств; носитель и сигнатура алгебраической системы.

Сигнатура – алгебраическая система (Ω) – это перечь всех связей между элементами рассмотренного множества.

Алгебраическая система  — множество   (носитель), с заданным на нём, набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом.(По версии гуменя: упорядоченное множество 2-ух компонентов)

Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

14. Аксиомы и основные тождества алгебры множеств.

15. Определение кортежа; названия кортежей; определение вектора: Проекции кортежей и их множеств.

16. Определение прямого (декартова) произведения двух и нескольких множеств. Символическое возведение в -"1 "степень множества пар. Возведение в целую степень множества.

Прямым произведением двух множеств является третье множество, элементами которого являются пары кортежей построенных таким образом, что первый компонент элементы первого множества, а второй – второго множества.

X*Y = Z = {<x,y>|(x X)&(y Y)}

Возведение в «-» степень

Y*X = (X*Y)^-1

17. Определение соответствия двух множеств.

Соответствие двух множеств X и Y – образует тройки

1 компонент – X;

2 компонент – Y;

3 компонент – Q – закон или график соответствия, при этом Q – подмножество декартового произведения X на Y

q = <X, Y, Q>, где Q С X*Y

18. Основные свойства соответствий

1) Всюду определённость;

2) Всюду значимость (сурьективность);

3) Однозначность (функциональность);

4) Обратная однозначность.

19. Классы соответствий

20. Обратное соответствие; обратная функция; обратное отображение

21. Композиция соответствий.

1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S Í A´B. Тот факт, что элементы aÎ A, bÎ B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) Î S или в виде aSb.

2. Естественным образом для соответствий S1 и S2 определяются S1∩S2 и S1U S2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S1 Í S2. Так S1 Í S2 Û

из a S1b Þ a S2b.

Для соответствий S1 Í A´B и S2 Í B´C определим композицию соответствий S1*S2 Í A´С. Будем считать, что для элементов aÎ A, сÎ С по определению a S1*S2 с Û $ bÎ B такой, что a S1 b и b S2 с.

4. Для соответствия S Í A´B определим соответствие

S -1 Í B´A так: по определению bS -1a Û a S b.

5. Пусть по определению соответствие DAÍ A´A,

DA=.

6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B), если " aÎ A $! bÎ B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF1*F2 с можно записать в виде с = (aF1)F2 . Композиция F2F1 функций означает по определению, что (F2F1 )(a)= F2(F1 (a)). Таким образом, F2F1 = F1*F2 .

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A1Í A

называется подмножество F(A1)= Í B, а прообразом подмножества B1 Í B называется подмножество

F -1(B1)= Í A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией, если из

a1 ¹ a2 Þ Fa1 ¹ Fa2.

9. Отображение F из A в B называется сюръекцией, если

" bÎ B $ aÎ A такой, что Fa = b.

10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением, если F – инъекция и сюръекция одновременно.

11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой.

12. Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R Í X´X. Тот факт, что элементы x, y Î X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) Î R или в виде xRy.

Композиция соответствий. Пусть заданы соответствия R из X в Y и S из Y в Z. Их композицией (или произведением) называется соответствие P из X в Z такое, что P(x)=S(R(x)) для всех x из X. Композиция соответствий R и S обозначается через RS. Согласно определению имеем

RS = {(x,z) | существует y∈Y, для которого (x,y)∈R и (y,z)∈S}.

Если X=Y=Z и R=S, то вместо RR пишут R², вместо (R²)R – (R³) и т.д.