- •Глава 8. Элементы тензорной алгебры
- •§ 1. Общее определение тензора
- •§ 2. Алгебраические операции над тензорами
- •►Докажем это утверждение для двух операций: для тензорного произведения и свертывания (для остальных оно практически очевидно).
- •Пусть в линейном пространстве наряду с базисом (8.4) задан ещё один базис
- •Таким образом, теорема доказана и для свертывания.◄
- •§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве Взаимные базисы
- •Операции поднятия и опускания индексов
- •Тензоры в ортонормированных базисах
►Докажем это утверждение для двух операций: для тензорного произведения и свертывания (для остальных оно практически очевидно).
Для упрощения записи возьмем тензоры типа (2, 1) и типа (1, 1). Объект в каждом базисе линейного пространства задается совокупностью компонент . Остается показать, что эти компоненты при переходе от одного базиса к другому меняются по тензорному закону.
Пусть в линейном пространстве наряду с базисом (8.4) задан ещё один базис
(8.5)
и пусть – матрица перехода от (8.4) к (8.5), – обратная к ней. Записываем последовательную цепочку преобразований:
= [ и – тензоры] = =
= = .
Таким образом, для тензорного произведения теорема доказана.
При доказательстве теоремы для свертки используется равенство
, (8.6)
доказанное в § 9 гл. 3. Для упрощения записи опять же возьмем тензор типа (3, 2) и свернем его по второму верхнему и второму нижнему индексам. В результате получим объект , причем
= [ – тензор] = = =
=[(8.6)] = = [суммирование по ] = = .
Таким образом, теорема доказана и для свертывания.◄
Лемма 8.2. Пусть – некоторый набор чисел. Если для любого набора чисел
при всех значениях индексов от 1 и до , то опять же при всех значениях входящих индексов от 1 и до .
►Для упрощения записи доказательство проведем для однократного и двойного суммирований.
Однократное суммирование. Пусть Положим . Тогда
.
Двойное суммирование. Пусть для любого набора чисел и при всех
(8.7)
Положим . Тогда
.
Расшифруем подробнее это доказательство при . Равенство (8.7) выглядит так:
.
Если в (8.7) создается иллюзия, что на можно сократить, то при подробной записи видно, что этого сделать нельзя. Запишем при некоторых значениях и :
; ; .
Таким образом, видим, что из девяти чисел отличным от нуля будет только одно, что и позволяет в сумме (8.7) вычленить одно слагаемое. ◄
Теорема 8.2 (обратный тензорный признак). Пусть – объект, который в каждом базисе линейного пространства задается совокупностью чисел . Если в результате тензорного произведения или взаимного свертывания объекта с произвольным тензором заданного типа получится тензор, то исходный объект – тоже тензор.
►Для упрощения записи доказательство проведем для тензоров небольшой валентности. Пусть – неизвестный объект, и пусть для любого тензора типа (1, 1) тензорное произведение =
является тензором. Значит,
. (8.8)
Так как это равенство справедливо , положим при всех значениях и . Тогда из (8.8) вытекает, что . Таким образом, компоненты объекта Т меняются по тензорному закону, поэтому Т и является тензором.
Теперь проведем доказательство для однократного взаимного свертывания.
Пусть – неизвестный объект, и пусть для любого тензора типа (1, 0) результат взаимного свертывания по нижнему индексу объекта Т и верхнему индексу тензора является тензором. Если , где , то
.
Из этого равенства на основании леммы 8.2 мы и получаем, что . Аналогично утверждение доказывается и для большего количества свёртываний.◄